1.Понятие матрицы…

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.

Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.

Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

1)Умножение матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число называется матрица В, равная А, каждый элемент которой находится по формуле: b_ij = x a_ij. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы.

2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле С_ij=a_ij+b_ij. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах.

3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична сложению.

4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mxk на матрицу В размера kxn называется матрица С размера mxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В.

5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы А^m называется произведение m-матриц, равных А.

6)Транспонирование: условий нет; транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.

1. A + (B + C) = (A + B) + C

2. A + B = B + A

3. A(BC) = (AB)C

4. A(B + C) = AB + AC

5. (B + C)A = BA + CA

6. 

7. 

8. 

9. (A^T)^T = A

10. (A * B)^T = B^T * A^T

2.Линейная зависимость …

Система из п столбцов является линейно независимой, если равенство их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все весовые коэффициенты – нули.

Свойства:

1. Дополнения к линейно зависимой системе любых других столбцов приводит к ассиметричной линейной зависимости.

2. Исключение из линейно-независимой системы любых столбцов даёт независимую подсистему.

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя матрицы:

Для того чтобы определитель матрицы был равен нулю необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из его столбцов или строк был линейной комбинацией остальных, или чтобы столбцы, или строки были линейно зависимы.