шпоргалка / shpora_vysshaya_matematika_agau_elementy_teoriya_polya

• 5 Теорема Остроградского – Гаусса а(М)=P(x,y,z)i+P(x,y,z)R Выберем некоторую область V ограниченную замкнутую поверхностью S равенство S_V SS div a(M)dV=П(a) и Выражаем теорему Остроградского - Гаусса в координатной форме это равенство имеет вид

• 6Ротор(вихрь)векторного поля

Дадим понятие этой величине исходя из гидро-динимической интерплитацей поля такой интерплитации ротор характерезует интенсивность вращательного движения жидкости в точки М. выбранной в плоскости рассматриваемого пространства. Пусть вектор

Где P Q R неприравны в месте со своими частными производными 1-ого порядка тогда формула для вычисления Ротора

7 Теорема Стокса

В пространстве в котором определено векторное поля а(М) выберем какой нибудь замкнутый контур L является границей этой поверхности теорема Стока выражает связь между потоком ротором векторного поля а(М) через поверхность и циркуляцией поля по контуру L в координатной форме

- эта формула связует поверхности криволинейные интегралы.

4 Дивергенция Векторного поля

Пусть в пространстве определено векторное поле а(М) зададим в этом пространстве какую ни будь замкнутую поверхность S ограничивающую векторV выберим точку M в нутрии на поверхность тела. Тогда в каждой точки дифференциального векторного поля a(M) определено число.

Которое называется дивергенция поля в точки в электронм статическом поле напряженности созданном электрическим зарядами в пространстве дивергенции является плотностью распределения электрических зарядов в данной точки поле формула для вычисления дивергенции поля

Свойство дивергенции

1⁰

2

3. если

дивергенция от а=0

3 Циркуляция векторного поля

Пусть в некотором пространственной области определено векторное поле Выберем в этой области некоторою кривую L указав на ней положительное направление для чего выберем на этой прямой точки А и В пусть (М) вектор – еденичный вектор касательной кривой L в точки М совпадающей с направлением кривой.

если L замкнутая кривая то этот интеграл называется циркулящийся векторного поля а(М) по кривой L

1 Векторное поле. Векторные линии

Наиболее наглядным примером векторного поля является поле скоростей при течении жидкости. Пусть в некоторой обла­сти D пространства происходит движение частиц жидкости, при котором в каждой точке М € D частицы жидкости, попа­дающие в эту точку в различные моменты времени, имеют один и тот же вектор скорости v(M). В этом случае говорят, что течение жидкости является установившимся (или стационар­ным). Таким образом, при установившемся течении жидкости вектор v(M) в произвольной точке М € D не изменяется с тече­нием времени, хотя в разных точках М\ и М₂ векторы v(M\) и v(M₂) могут различаться. Тем самым в области D определено векторное поле — поле скоростей жидкости. Если в пространстве задана прямоугольная система коор векторное поле может быть представлено как векторная функция трех переменных. Действительно, в этом случае с помощью координат можно определить и точку в обла­сти определения, и вектор поля в этой точке. Обозначим через е_1, е_{2 ,}е₃ базисные векторы системы координат Тогда векторное поле с областью определения D можно предста­вить в виде где а_i(х₁,х₂,х₃), i=1,2,3, — некоторые скалярные функции трех переменных, определенные в D. Значениями этих функций в точке М(х₁,х₂,х₃) являются координаты вектора а(М) в базисе е₁,е₂,е₃ Мы их будем называть координатными функциями векторного поля а(М). Каждую из координатных функций можно рассматривать как представление некоторого скалярного поля. В этом смысле векторное поле можно считать комбинацией трех скалярных полей. Однако связь векторное поле — три скалярных поля" напрямую зависит от выбора системы координат.