шпоргалка / Shpargalka_3matan1sem

3. Определение касательной и нормали к плоской кривой. Вывод их уравнений.

Касательной к данной кривой в данной на ней точке M₀ называется предельное положение секущей при условии, что точка M₁, перемещаясь по этой кривой, неограниченно приближается к точке M₀.

Рассм. M₀CM₁: M₀(x₀;y₀) M₁(x₁,y₁)

tg=M₁C/M₀C M₀C=x₁-x₀=x M₁C=y₁-y₀=y

Нормалью данной кривой в данной на ней точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной в этой точке.

4. Определение непрерывности и дифференцируемости функций. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если она определена в некоторой окрестности точки x₀ (очевидно, и в самой точке x₀)и еслиили,что то же самое

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x=x₀, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде y=Ax+(x)x, где A=const,

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x₀, то она непрерывна в этой точке.

Дано: y=f ‘(x₀)x+(x)x

Док-ть:

Док-во:

7. Вывод формул для производных sinx, cosx

y=sinx:

x; y=f(x₀+x)-f(x₀)

y=sin(x₀+x)-sinx₀=2sin(x/2)cos(x₀+x/2)

y=cosx:

x; y=f(x₀+x)-f(x₀)

y=cos(x₀+x)-cosx₀=-2sin(x/2)sin(x₀+x/2)

8. Вывод формулы производной сложной функции.

Если функция x=(t) дифференцируема в точке t₀, а функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x₀=(t₀), то сложная функция y=f((t)) дифференцируема в точке t=t₀ и ее производная в этой точке находится по формуле

Док-во:

Т. к. функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x₀, то y=f ‘(x₀)x+(x)x.

9. Вывод формулы для производной логарифмической функции.

11. Вывод производных показательной и степенной функций.

Производная показательной функции:

Производная степенной функции:

12. Дифференциал функции. Определение. Свойство инвариантности формы дифференциала.

Дифференциалом дифференцируемой функции называется главная, линейная относительно x, часть приращения функции.

Форма дифференциала функции f(x) не зависит от того, является ли x независимой переменной или функцией другого независимого переменного.

Док-во:

13. Определение максимума и минимума. Док-во необходимого условия экстремума.

Функция y=f(x) имеет максимум [минимум] в точке x=x₀, если найдется такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x₀)>f(x) [f(x₀)<f(x)].

Если функция y=f(x) имеет в точке x=x₀ экстремум, то ее производная в этой точке равна 0 или не существует(???).

Дано: x=x₀ -точка максимума.

Док-ть: f ‘(x₀)=0.

Док-во:

(для минимума - по аналог. док-ву)

14. Определение максимума и минимума. Доказательство достаточных условий экстремума.

Функция y=f(x) имеет максимум [минимум] в точке x=x₀, если найдется такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x₀)>f(x) [f(x₀)<f(x)].

Если функция y=f(x) непрерывна в точке x=x₀ и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и если при переходе через эту точку производная меняет знак, то в этой точке функция имеет экстремум: если знак f ‘(x) меняется с “+” на “-” - то функция имеет максимум в этой точке; если с “-” на “+” - то минимум.

Док-во:

Функция f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа.

15. Возрастание, убывание функции. Теорема о достаточном условии монотонности функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей [убывающей] на интервале (a;b), если из неравенства x₂>x₁ следует неравенство f(x₂)>f(x₁) [f(x₂)<f(x₁)] при условии, что (x₁;x₂)(a;b).

Если функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f ‘(x)>0 [f ‘(x)<0] на этом интервале, то эта функция возрастает [убывает] на этом интервале.

Д-во:

Возьмем две произвольные точки: x₁,x₂(a;b);

x₀(a;b), x₂>x₁.

Рассм. отрезок [x₁,x₂]. На нем функция y=f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа.

По теореме Лагранжа найдется (x₁;x₂), что выполняется равенство f(x₂)-f(x₁)=f ‘()(x₂-x₁).

1) f ‘(x)>0  x₂-x₁>0 ; f ‘()>0 f(x₂)-f(x₁)>0

f(x₂)>f(x₁).

2) f ‘(x)<0

f ‘()<0

x₂-x₁>0f(x₂)-f(x₁)<0

f(x₂)<f(x₁)

3. Определение бесконечно малых и их свойства.

Функция (x) называется бесконечно малой в точке x=x₀, если предел (x) при xx₀ равен 0.

Свойства:

1. Сумма бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая. (Функция f(x) называется ограниченной в точке x=x₀, если найдется такое число M и такая -окрестность, что для всех x из -окрестности выполняется неравенство f(x)<M.)

4. Определение бесконечно большой. Ее связь с бесконечно малой.

Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x=x₀, если для любого положительного M найдется такая -окрестность этой точки, что для всех x из этой -окрестности выполняется неравенство f(x)>M.

Если f(x) - бесконечно большая в точке x=x₀, то функция (x)=1/f(x) будет бесконечно малой в этой точке.

Если функция (x) - бесконечно малая в точке x=x₀, то функция f(x)=1/(x) будет бесконечно большой в этой точке.

6. Непрерывность функции.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если ее предел в этой точке равен значению функции в этой точке.

Условия непрерывности:

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если она определена в некоторой окрестности точки x₀ (очевидно, и в самой точке x₀)и еслиили,что то же самое

Функция y=f(x) называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

7. Точки разрыва и их классификация.

Точка x=x₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция не является непрерывной в этой точке.

Точка x=x₀ называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существует предел слева и справа от этой функции.

Точка x=x₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов слева и справа не существует.

8. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциалом дифференцируемой функции называется главная, линейная относительно x, часть приращения функции.

Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной.

13. Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточные условия.

График функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] в точке (x₀;f(x₀)), если в этой точке существует касательная к этому графику, которая в некоторой окрестности этой точки расположена выше [ниже] этой кривой.

График функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] на интервале (a;b), если он выпуклый [вогнутый] в каждой точке этого интервала.

Если функция y=f(x) дважды дифференцируема на интервале (a;b) и ее вторая производная отрицательна [положительна] во всех точках этого интервала, то график функции y=f(x) является выпуклым [вогнутым] на этом интервале.

14. Определение точки перегиба. Достаточные условия.

Точка (x₀;f(x₀)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и если она отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.

Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x=x₀, и в точке (x₀;f(x₀)) существует касательная к графику этой функции. Если при переходе через точку x=x₀ вторая производная меняет знак, то точка (x₀;f(x₀)) является точкой перегиба графика функции.

15. Определение асимптоты к графику функции и нахождение невертикальной асимптоты.

Асимптотой данной кривой называется такая прямая, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Наклонные (невертикальные) асимптоты - асимптоты, не параллельные оси oy. Кривая, заданная уравнением y=f(x) имеет невертикальную асимптоту, определяемую уравненем y=kx+b, тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

и

(или соответственно при x-)

Правило Лопиталя

Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x=x₀ и

и , то выполняется равенство

2. Теорема Ролля и ее геометрический смысл.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема в каждой внутренней точке этого отрезка и на его концах обращается в нуль, то внутри отрезка [a;b] найдется такая точка , что f ‘()=0.

Если функция y=f(x) удовлетворяет на отрезке [a;b] всем условиям теоремы Ролля, то на графике функции найдется такая точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.

3. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в каждой внутренней его точке, то внутри отрезка [a;b] найдется такая точка , что выполняется равенство

f(b)-f(a)=f ‘()(b-a).

Если функция y=f(x) на отрезке [a;b] удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, то на дуге, являющейся графиком этой функции, найдется такая точка, касательная в которой будет параллельна хорде, стягивающей эту дугу.

4. Точки разрыва функции. Их классификация.

Точка x=x₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция не является непрерывной в этой точке.

Точка x=x₀ называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существует предел слева и справа от этой функции.

Точка x=x₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов слева и справа не существует.

5. Выпуклость. Вогнутость.

График функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] в точке (x₀;f(x₀)), если в этой точке существует касательная к этому графику, которая в некоторой окрестности этой точки расположена выше [ниже] этой кривой.

График функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] на интервале (a;b), если он выпуклый [вогнутый] в каждой точке этого интервала.

6. Точки перегиба. Достаточное условие.

Точка (x₀;f(x₀)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и если она отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.

Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x=x₀, и в точке (x₀;f(x₀)) существует касательная к графику этой функции. Если при переходе через точку x=x₀ вторая производная меняет знак, то точка (x₀;f(x₀)) является точкой перегиба графика функции.

7. Асимптоты кривой. Вертикальные, наклонные. Условия их существования.

Асимптотой данной кривой называется такая прямая, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Вертикальные асимптоты - асимптоты, параллельные оси ординат. Если функция f(x) в точке x₀ имеет бесконечный разрыв, то уравнение x=x₀ есть уравнение вертикальной асимптоты графика этой функции.

Наклонные (невертикальные) асимптоты - асимптоты, не параллельные оси oy. Кривая, заданная уравнением y=f(x) имеет невертикальную асимптоту, определяемую уравненем y=kx+b, тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

и

(или соответственно при x-)

9. Определение функции и ее графика. Способы задания функции.

Если каждому значению x из некоторого числового множества E сопоставлено одно определенное значение переменной величины y, то говорят, что y является функцией независимой переменной x.

Графиком функции y=f(x) в данной прямоугольной системе координат xOy называется геометрическое место точек плоскости, координаты (x;y) которых удовлетворяют соотношению y=f(x).

Способы задания функции:

1. Аналитический.

2. Графический.

3. Табличный.