шпоргалка / integral_formuly

Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при (функция непрерывна в точке ).

Определение производной

переменная; числа; сложные функции.

Геометрический смысл производной.

Если к графику функции в точке проведена касательная, то угловой коэффициент этой касательной и тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен производной функции в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции в точке:

Возрастание и убывание функции, экстремумы функции, вогнутость и выпуклость графика функции.

Если производная функции больше нуля на некотором промежутке >0, то функция на этом промежутке возрастает, если же производная функции меньше нуля на некотором промежутке <0, то функция на этом промежутке убывает.

Точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием, называется точкой максимума функции, точка, в которой убывание сменяется возрастанием, называется точкой минимума функции.

Если функция неотрицательна на некотором промежутке и принимает на нем наибольшее (наименьшее) значение, то функция также неотрицательна на этом промежутке и принимает на нем свое наибольшее (наименьшее) значение.

Точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение е меняется при следующих преобразованиях выражения, задающего функцию:

-прибавление постоянного слагаемого

-умножение на отличное от нуля число (если на положительное, то не меняется, если же на отрицательное, то максимум становится минимумом и наоборот)

-возведение функции f в степень с натуральным показателем.

Если положительная функция f в некоторой точке принимает наибольшее значение, то функции и принимают в этой точке наименьшее значение.

Если вторая производная функции больше нуля >0 на некотором промежутке то график функции вогнут на нем, если же вторая производная меньше нуля <0, то график функции выпуклый на этом промежутке.

Построение графиков функций.

План исследования функции:

1) Находим область определения функции

2) Исследуем функцию на четность или нечетность.

3) Находим точки пересечения графика функции с осью абсцисс

4) Находим точки разрыва функции.

5) Точки, найденные в пунктах 3 и 4, разбивают ось абсцисс на несколько промежутков – это

промежутки знакопостоянства функции.

6) Изучаем поведение функции около точек разрыва и на бесконечности и находим ее асимптоты.

7) С помощью производной исследуем функцию на возрастание и убывание.

8) Находим точки максимума и минимума.

9) Исследуем график на выпуклость и находим точки перегиба.

10) Составляем таблицу значений функции и ее производных (в нее включают точки, найденные на предыдущих этапах исследования функции, и некоторые дополнительные контрольные точки, в частности точку пересечения графика с осью ординат).

11) Учитывая проведенное исследование, строим эскиз графика функции.

Определение первообразной для функции .

Если , то первообразная для функции