56.Графоаналитический метод расчёт нелинейных цепей

Статическое сопротивление определяется формулой:

Дифференциальное сопротивление

Метод верен, если расчёт производится в рабочей точке А, то есть отклонения токов и напряжения от неё незначительны, тогда на небольших участках ВАХ можно заменить на прямую линию, уравнение которой:

Тогда нелинейный элемент можно заменить эквивалентной схемой элемента:

Если разделим уравнение на r_диф, то получим:

или

Тогда эквивалентная схема будет:

Если ВАХ имеет следующий вид:

То уравнение будет:

Нелинейный элемент можно заменить эквивалентной схемой элемента:

Если разделим уравнение на r_диф, то получим:

Тогда эквивалентная схема будет:

После замены нелинейного элемента эквивалентной схемой проводим расчёт цепи.

57. Расчет схем с нелинейными элементами методом деления отрезков пополам.

Метод деления отрезков пополам используется для определения корней функции одной переменной.

Поделим отрезок [a, b] пополам точкой c, координата которой c = (a + b) / 2 и вычислим значение функции f(c).

Возможны два случая:

а) f(a)* f(c) >0, т.е. значения функции на концах отрезка [a, c] одинаковы по знаку; тогда корень уравнения находится на отрезке [c, b] и отрезок [a, c] можно исключить из дальнейшего рассмотрения, перенеся точку a в точку c: a=c; f(a)=f(c)

б) f(a)* f(c) <0, т.е. значение функции на концах отрезка [a, c] противоположны по знаку; тогда корень находится на отрезке [a, c] и отрезок [c, b] можно исключить из дальнейшего рассмотрения, перенеся точку b в точку c: b=c

После исключения правой или левой половины отрезка продолжают деление пополам до тех пор, пока длина оставшегося интервала [a, b] не станет меньше некоторой заданной малой величины e, и тогда любое значение аргумента из отрезка [a, b] можно считать корнем с абсолютной погрешностью e. Обычно принимают в качестве корня середину отрезка.

Пример.Найти ток в схеме, если

ВАХ нелинейного элемента задана уравнением

Решение.

С учетом того, что

58. Алгоритм расчета нелинейных цепей по методу Ньютона-Рафсона.

Пусть нелинейное уравнениеимеет единственный корень

В окрестности этого корня функцияразлагается в ряд Тейлора:

Отсюда следует:

Гдеявляется поправкой к предыдущему решению.

Полученное соотношение – алгоритм итерационного метода Ньютона –

Рафсона, который реализуется следующим образом:

1. Задаем начальное приближенное значение искомого решения.

2. Определяем поправку. Для ее вычисления по выражению функции находим производную.

3. Определяем уточненное значение корня

4. Повторяем процесс на следующем шаге и уточняем предыдущее решение до необходимой точности.

Геометрическая интерпретация метода приведена на рисунке. Касательные, проведенные в точках, определяют значение поправки на соответствующем шаге, так какили

Метод сходится, если начальное приближение достаточно близко к решению. Однако, если, решение невозможно.

Исследования показывают, что сходимость метода Ньютона – Рафсона зависит от значения функции, ее наклонаи от кривизны функции. Если для всехвыполняется неравенство, то процесс сходится.

Пример.Найти ток в схеме, если

ВАХ нелинейного элемента задана уравнением

Решение.

С учетом того, что

. Ток в нулевом приближении:

Уточненное решение после первого шага:

После второго шага: