2 семестр МП / Старые материалы - второй поток / Лекции / Лекция 8.2 Явление электромагнитной индукции продолжение

12.1. Три способа создания ЭДС индукции с помощью магнитного поля.

Контур движется в постоянном магнитном поле.

Проводящий контур перемещается поступательно со скоростью в неоднородном магнитном поле, магнитная составляющая силы Лоренца, действующая на свободные электроны, приводит их в движение вдоль контура со скоростью относительно контура. Скорость электрона относительно лаборатории равна . Утверждается, что скорости электронов много меньше скорости света.

Составляющая силы Лоренца вдоль контура

Это составляющая формирует поле сторонних сил с напряженностью

По определению равна циркуляции :

- мы показали, что индукция равна скорости изменения потока через боковую поверхность. Далее сведем поток через боковую поверхность к потоку через основания цилиндра.

Знаки расставлены в соответствии с нормалями.

Подставляя, получаем:

(1)

Контур покоится, а источник магнитного поля движется.

Наличие индукционного тока в этом случае свидетельствует о возникновении электродвижущей силы электрической природы, так как привести в движение покоящиеся в контуре электроны проводимости может только электрическое поле. Именно это электрическое поле, возникающее в пространстве, в котором покоится проводящий контур, и ответственно за появление ЭДС индукции.

Примем во внимание, кроме того, что в случаях и наблюдается одно и то же явление, но в разных системах отсчета.

Относительно лабораторной системы отсчета К контур покоится, а источник магнитного поля движется со скоростью . В инерциальной системе К’, движущейся вместе с магнитом наблюдается только поле , тогда в лабораторной системе отсчета по второму частному случаю преобразованию полей (формула (8) из п. 8.3) кроме магнитного поля существует еще и электрическое с напряженностью

.

- приходим к тому же соотношению.

Таким образом, величина ЭДС, как и прежде, определяется скоростью изменения потока вектора магнитного поля, но в отличие от случая уже через неподвижный контур, о чем свидетельствует значок частной производной.

И контур, и магнит покоятся, а магнитное поле изменяется со временем.

В случае магнитное поле в районе покоящегося контура изменялось со временем, что было связано с движением источника магнитного поля. Теперь рассмотрим случай, когда изменяющееся магнитное поле в районе покоящегося контура создается покоящимся источником, но не постоянного (как в случае ), а переменного магнитного поля. Сделаем предположение о том, что нужную временную зависимость магнитного поля в районе контура всегда можно осуществить с помощью специально подобранного и специальным образом движущегося источника постоянного (в системе отсчета, связанной с источником) магнитного поля. Если это предположение верно, то сводим случай к случаю ). Опыты Фарадея (см. рис.) не противоречат такому предположению.

(2)

Пункт 12.2. Локальная или дифференциальная форма записи закона Фарадея.

Формула (2) для элементарной циркуляции по бесконечно малому контуру принимает вид

С другой стороны, по определению ротора вектора для вектора В _см. п.10.4.1( )(7)

Проекция ротора поляна любое направление равна отношению циркуляции вектора поля по бесконечно малому контуру, перпендикулярному , к площади , охватываемой этим контуром)

Сопоставив две формулы

. Отсюда получаем следующее:

, так как площадка взята произвольная, то

(3).

Таким образом, электрическое поле является вихревым там, где .

Пример 1. Применение закона электромагнитной индукции. В длинном прямом соленоиде с радиусом сечения R и числом витков на единицу длины n увеличивают ток с постоянной скоростью , A/c. Найдите модуль вектора напряженности электрического поля Е как функцию расстояния r от оси соленоида.

В разделе “Магнитостатика” было показано, что если ток в соленоиде постоянный, то магнитное поле внутри соленоида продольное, однородное и равное , а снаружи отсутствует: В = 0. Рассмотрим контур в виде окружности радиусом r < R, плоскость которой перпендикулярна образующей цилиндра - соленоида. Центр окружности расположен на оси симметрии соленоида. Поток вектора через площадь круга радиуса r найдем по формуле Ф = . В соответствии с законом Фарадея в форме (2) для избранного контура можно записать

.

Для модуля электрического поля отсюда следует

.

Теперь рассмотрим контур в виде окружности радиусом r > R. Плоскость круга, ограниченного этой окружностью, совпадает с плоскостью внутреннего контура. Только внутренняя часть этого круга площадью R² пронизывается линиями магнитного поля. Закон Фарадея (2) записывается в виде

.

Отсюда находим выражение для величины напряженности электрического поля вне соленоида:

.

Заметим, что поле внутри соленоида вихревое, так как , и в соответствии с законом Фарадея в дифференциальной форме (3 ) . Поэтому не удивительно, что в этой области .

В области r > R магнитного поля нет и . Следовательно (в соответствии с (3)), поле вне соленоида является безвихревым: . И здесь может показаться странным, что тем не менее .

Парадоксальной ситуация кажется тем, кто считает справедливым следующее утверждение: векторное поле потенциально (), если у него нет вихрей . Однако такое утверждение выполняется всегда только в односвязной области.

Напомним, что область пространства обладает свойством односвязности, если в ней можно любой замкнутый контур путем непрерывной деформации стянуть в точку, не касаясь границ области. Например, области внутри кругового цилиндра, внутри или вне сферы, - это односвязные области; все пространство или вся плоскость также причисляются к односвязным областям. В отличие от этого области вне бесконечного кругового цилиндра, внутри или вне “тора” (поверхности бублика) - неодносвязные области.

Можно показать, что в односвязной области безвихревое поле обязательно является потенциальным, т.е. бесциркуляционным. В отличие от этого, если область неодносвязная, то циркуляция безвихревого поля может быть отличной от нуля. Так, в рассмотренном примере область внутри соленоида односвязная, а вне его - неодносвязная.

41