ЛЕКЦИЯ 7.1
Кафедра физики
ПЛАН ЛЕКЦИИ
1.Локальная форма теоремы о циркуляции магнитного поля
2.Закон Ампера. Сила взаимодействия параллельных токов.
3.Контур с током в магнитном поле.
4.Эффект Холла
Локальная форма теоремы о циркуляции магнитного поля
|
|
|
|
|
|
Ñ |
r |
r |
0 I |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B,dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
j |
, dS |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dC 0 |
|
|
j |
, dS |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Введем по определению |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ротор поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
B |
|
By |
r |
|
|
B |
|
|
|
|
B |
r |
|
By |
|
B |
|||||||
rot B |
z |
|
|
|
|
|
i |
|
x |
|
|
|
z |
|
j |
|
|
|
|
x |
|
k |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
y |
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dC |
|
r |
r |
rotn |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dS rot B, n |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ротор вектора определим следующим образом
r |
Е |
|
Е |
y |
r |
|
Е |
|
||
rot Е |
|
|
z |
|
i |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
z |
|
|
z |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
Е |
|
r |
|
|
Е |
|
|
Е |
|
r |
|
|
|
|
y |
|
x |
|
||||
|
|
z |
j |
|
|
|
|
|
k |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
y |
|
||||
|
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Векторное произведение вектора оператора градиента и
вектора напряженности электрического поля, |
|||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или ротор Е можно записать через детерминант |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
r |
|
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rot Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Еx |
|
Еy |
|
Еz |
|
|
|
Проекция ротора поля |
B |
dC |
|
r |
r |
|
r |
|
r |
dS |
rot B, n |
rotn B |
|||
на любое направление |
n |
|
|
|
|
|
|
равна отношению циркуляции вектора поля |
B |
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
по бесконечно малому контуру, перпендикулярному |
n |
|
|
|
|||
, к площади dS , охватываемой этим контуром.
Используя оператор Гамильтона
, запишем
r rot B
|
|
|
|
|
|
r |
|||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r |
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
y |
||||||
, B |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Bx |
|
By |
||
rj y kr z
r k
z Bz
Учтем здесь |
|
dC rot |
r |
|
|
r |
|
|
|||
формулу |
|
B, dS |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot |
r |
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
B, dS |
0 j |
, dS |
|
|
|||||||
rot |
r |
|
r |
r |
|
|
0 |
|
|||
B 0 j, dS |
|
, т.к. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
- любой, то |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
rot B 0 |
|
j |
|
|
|
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
||
|
, |
B |
|
0 |
j |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– локальная или дифференциальная форма теоремы о циркуляции
магнитного поля;
Очевидно, что магнитное поле будет вихревым только там, где плотность тока не равна нулю.
Кафедра физики
ЗАКОН АМПЕРА
Электрические токи создают в пространстве вокруг себя магнитное поле. В свою очередь каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому эти заряды движутся. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Определим эту силу.
Сформулируем точнее задачу. Воспользуемся моделью небольших проводников, которые мы назвали единичными элементами тока.
За характеристику элемента тока принята векторная величина Idl, направленная вдоль тока и численно равная произведению длины проводника dlна силу электрического тока I, протекающего по нему.
Задача: определить силуdF, действующую на единичный элемент тока dl со стороны магнитного поляB , созданного другим элементом тока dl
Кафедра физики
ЗАКОН АМПЕРА
Проведем общие рассуждения. |
|
|
|
|
||
На движущийся со скоростью v заряд qдействует магнитная сила |
|
|||||
|
Fм qv, |
|
|
|
|
|
Если провод, по которому течет ток, поместить в магнитное поле, |
|
|||||
эта сила действует на каждый из носителей тока. |
|
|||||
Пусть |
n - это число носителей тока, содержащихся в единице |
|
||||
объема проводника. |
dlсодержится |
n S dl носителей заряда |
|
|||
Тогда в элементе провода |
|
|||||
(S - это площадь поперечного сечения проводника в том месте, где |
|
|||||
располагается элемент тока). |
|
|
|
|
||
На каждый из носителей тока будет действовать магнитная сила |
. |
|||||
|
, |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
на все носители в пределах dl - |
Fev,B |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
r |
r |
r |
r |
|
|
|
dF F nSdl ne |
v , B |
Sdl |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Кафедра физики
ЗАКОН АМПЕРА
Внесем постоянные величины ne под знак векторного произведения и, учтя, что ne v j , получим
dF j ,B dV
где - dV Sdl объем элемента провода
Для тонкого проводника jdV Idl. С учетом этого соотношения получим следующую формулу:
dF I dl ,B
Выделенные формулы – это различные формы записи закона Ампера. Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют
силами Ампера.
Кафедра физики
ЗАКОН АМПЕРА
dF j ,B dV
В этой формуле произведение jdV называется объемным элементом тока
|
|
dF I dl ,B |
|
Если |
полученные |
выражения |
||
|
|
|
проинтегрировать по |
|
объемным |
или |
||
|
|
|
|
линейным элементам тока, можно |
найти |
|||
|
|
|
|
|||||
магнитную силу, действующую на объем проводника или его |
||||||||
линейный участок |
|
|
|
|
|
|
||
Направление силы Лоренца легко определить, поскольку |
|
|||||||
|
|
векторы dl , B и |
dF образуют правовинтовую ортогональную |
|||||
|
|
тройку векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль силы Ампера выражается формулой |
dF IB dl sin |
|||||
где - угол между векторами dl и B .