Согласно теореме Стокса,
присутствует следующая связь между контурным и поверхностным
интегралами:
(E, dl) rotEdS 0
L S
где контур L ограничивающий поверхность S ориентация которой
определяетсяn направлением вектора
dS ndS
положительной нормали :
Поэтому работа при перемещении заряда по любому замкнутому61 пути
2.6. Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности
Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадаетE с направлением .
Отсюда следует, что напряженность равна
разности потенциалов U на единицу длины силовой линии.
Именноφ вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить
между двумя точками, измеряя U между
E
ними, причем тем точнее, чем ближе точки.
В однородном электрическом поле силовые |
||||
|
|
|
U |
|
линии – прямые. Поэтому здесь определить |
||||
наиболее просто: |
E |
|
l |
62 |
|
|
|
(2.15) |
|
Воображаемая поверхность, все точки
которой имеют одинаковый
потенциал, называется
эквипотенциальной поверхностью.
Уравнение этой поверхности
|
(x, y, z) const (2.16) |
|
63
Линии напряженности и
эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны
64
Формула выражает связь
E grad φ
потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ
найти напряженность поля в каждой точке.
Можно решить и обратнуюE задачу, т.е. по известным значениям в каждой точке поля найти разность
потенциалов между двумя
2
произвольными точками поля.
φ1 φ2 (E,dl).
1
65
2
φ1 φ2 (E,dl).
1
Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, т.к. работа сил поля не зависит от
1φ2
Для обхода по(E,замкнутомуdl) 0, контуру получим:
т.е. пришли к известной нам теореме опути.
циркуляции вектора напряженности:
циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого
Поле,замкнутогообладающее этимконтурасвойством,равнаназываетсянулюпотенциальным. .
66
Из обращения в нуль циркуляции
вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на
положительных зарядах (истоки) и на
отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в
67
2.7. Расчет потенциалов простейших электростатических полей. Применение связи Er
для решения задач.
Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами .
68
1.Пример. Найдем потенциал бесконечной однородно заряженной с линейной плотностью нити.
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||||
|
Как уже было показано для бесконечно длинной нити |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2pe0r |
|||||||
|
Выберем где-нибудь точку из которой |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
мы стартуем, к примеру в точкеr |
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r dr |
0 |
то |
||||||
|
|
|
|
(r) (r ) |
|
|
|
|
|
ln |
r |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
2pe |
|
r |
|
2pe |
|
|
r |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Договоримся, что в точке старта потенциал равен нулю:
(r0 ) 0 |
, тогда |
(r) |
|
|
|
r |
|
2 |
0 |
ln r |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
||
2.Пример. Потенциал поля точечного диполя |
|||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
1. принцип суперпозиции |
||||||||||
|
r |
r |
|
|
|
|
|||||||||||
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
(r ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 .потенциал точечного |
||||||||||
q |
|
|
|
r |
|
|
|
|
заряда (см. формулу (2.6)) |
||||||||
|
|
|
q |
1 |
|
|
q |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4pe0 |
r |
4pe |
|
r |
|
|
lr |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Учтя, что |
|
|
есть проекция вектора |
rна |
|||||||||||||
и то, что расстояние до диполя очень велико, то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
, |
r |
|
r |
r |
|
|
|
r |
|
|
q |
r r |
|
|
q |
l |
r |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p, r |
|||||||||
|
(r ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
r r |
|
4 0 |
|
r |
|
4 0r |
||||||
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
r
3.Пример. Определение вектора E точечного диполя из Er в полярной системе
координат.
Оператор |
запишется в полярной системе |
||||||||||||||||||||||||
координат так: |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1 |
||||||||
|
|
er . |
|
|
|
|
e r |
|
|
||||||||||||||||
|
|
r |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 p cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
E |
|
|
|
|
1 2 p cos |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
|
|
r |
|
4 0 |
r3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
E |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
p sin |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
4 0 |
r3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
E |
E2 E2 |
|
|
1 |
|
|
p |
1 3cos2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
4 0 r3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||