Лекции 3,4
1
Тема 4.
ЭНЕРГИЯ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ
Тема 5. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
►4. Энергия в электростатике
►4.1. Взаимодействие двух точечных зарядов
.
►4.2. Энергия взаимодействия системы из N -штук точечных зарядов.
►4.3. Полная электростатическая энергия зар яженного тела.
►4.4. О локализации электростатической энер гии.
►4.5. Электростатическая энергия системы, состоящей из двух заряженных тел.
►5. Проводники в электростатике
►5.1. Проводник и электростатическое поле.
►5.2. Метод электростатических изображений.
►5.3. Электрическая емкость.
4.1. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов.
► В пункте 2.3. было показано, что разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в одной и той же точке поля разными энергиями W', W'' и так далее. Однако отношение W / q'пр.
► будет для всех зарядов одним и тем же.
► Поэтому мы ввели. скалярную величину,
|
Q |
|
|
являющуюся энергетической характеристикой |
|||
|
|
|
|
собственно поля – потенциал: |
|
|
|
|
4 0r |
|
q |
►выражение для энергии взаимодействия точечного заряда |
|||
с внешним полем принимает вид |
|
|
|
, где – потенциал, созданный |
|
|
|
U q зарядом |
Q |
q |
|
, в той точке, куда мы поместили заряд |
|||
Если поле создано двумя точечными зарядами q1 и q2, то
U1 q1 12 |
U2 q2 21 |
Здесь φ12 – потенциал поля, создаваемого зарядом q2 в точке, где расположен заряд q1, φ21 – потенциал поля от заряда q1 в точке с зарядом q2.
Для вакуума можно записать |
|
|
|
|
q1 |
|
|
|||||
|
φ12 |
|
q2 |
|
|
φ21 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4πε0r |
|
|||||
|
4πε0r |
|
|
|
||||||||
Здесь r – расстояние между зарядами. Из этих уравнений следует, |
||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
U2 |
q1q2 |
U |
U |
1 |
1 |
|
1 |
|
q2 21 ). |
||
4 0 r |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2U1 2U2 |
2 (q1 12 |
|||||||
Аналогично можно получить
Энергия системы из N зарядов (самостоятельно): |
||||
U |
1 |
N |
(1) |
|
|
qi i |
|
||
|
2 i 1 |
|
, |
|
i потенциал в точке, где расположен заряд q |
||||
|
|
|
i |
|
создаваемый всеми остальными зарядами (кроме qi).
4.3. Полная электростатическая |
|||||
энергия заряженного тела. |
|||||
|
1 |
r |
r |
|
|
W |
2 |
r |
r |
dV |
(2) |
|
1 |
r |
r |
|
|
W |
2 |
r r |
dS |
(3) |
|
Полную энергию можно интерпретировать как ту минимальную работу, которую мы должны совершить, если мы из бесконечно маленьких зарядов расположенных на бесконечности друг от друга, так что они не взаимодействуют друг с другом, соберем какую-то пространственную конфигурацию в какой-то точке пространства.
4.4. О локализации электростатической
энергии.
► Рассмотрим однородно по поверхности
заряженную сферу. УменьшимdR ее радиус на .
► При этом энергия сферы
dR dR
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
1 |
|
|
q2 |
||||||
W |
2 |
dS |
|
dS |
|
|
q |
|
|
|
R |
|
q |
|
|
4 R |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 q2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 q2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dW |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dR |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 4 0 |
|
|
2 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
q2dR |
|
|
4 |
0 |
R2 |
|
|
0 |
E2 4 R2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dR |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
4 |
4 |
0R2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
W 20 E2dV |
(4) |
►Выяснить, где именно, в заряде или в поле, локализована энергия электростатика не позволяет, но мы знаем об электромагнитных волнах, которые способны переносить энергию в пустом пространстве, где нет зарядов, изучив закон, которому подчиняется переменное электромагнитное поле, мы увидим, что (4) справедлива всегда, а (2) и
(3) - только в электростатике.
4.5 Энергия системы, состоящей из двух заряженных тел.
|
|
E E1 E2uur uur |
|
|
|||||
|
E2 E12 E22 |
2 |
E1 |
, E2 |
|
|
|||
Умножим все на |
|
0 |
dV |
|
|
и проинтегрируем |
|||
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
W 02E2 |
dV |
|
|
|
uur uur |
|
|
||
|
E 2 |
|
E 2 |
|
|
0 |
2 E1, E2 |
|
|
|
0 1 dV |
0 2 |
dV |
|
|
|
|
dV |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
142 43 |
|
142 43 |
1 4 4 2 4 4 3 |
|||||
|
W1 |
|
W2 |
|
|
U12 - энергия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
взаимодействия тел |
|||