Кафедра физики
ПРОДОЛЖЕНИЕ
5.Примеры расчета магнитных полей:
-5.3. магнитное поле на оси кругового тока.
6.Поток вектора магнитной индукции. Теорема
Гаусса- Остроградского для вектора B . 7. Теорема о циркуляции вектора B .
8.Примеры расчета магнитных полей:
-8.1. магнитное поле соленоида.
-8.2. магнитное поле тороида.
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
5.3. Магнитное поле на оси кругового тока
Пусть электрический ток силой I течет по проводнику радиусом R.
Найдем магнитное поле на оси А, находящейся на расстоянии
R 
x a
тока в точке от центра
I |
a |
А |
x |
|
|||
|
|
|
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Магнитное поле на оси кругового тока
Разобьем круговой ток на элементы тока длиной dlи проведем от произвольного элемента тока радиус-вектор r в точку А.
dl
dB r
R 
I |
a |
А |
x |
|
|||
|
|
|
Вектор dB направлен перпендикулярно плоскости, в которой располагаются вектора dl и r
dl
R 
I 
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Магнитное поле на оси кругового тока
|
r |
dB |
|
|
|
||
|
dBn |
||
|
|
x |
|
a |
А |
||
dB |
Поскольку все элементы тока перпендикулярны и удалены от А на одинаковое расстояние, то модуль вектора магнитной индукции в этой точке определяется выражением
IdlsinIdl
dB0 0 900 , sin900 1
4 r2 4r2
Разложим вектор dB на две составляющие: dB и dBn
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
dl |
|
Магнитное поле на оси кругового тока |
|||
|
|
||||
|
|
r |
dB |
Любые |
два |
|
|
|
|||
R |
|
dBn |
противоположных |
||
|
|
|
x |
элемента |
тока |
|
a |
А |
создают |
поле, |
|
I |
dB |
составляющие dBn |
|||
|
|
|
|
которых |
равны по |
|
|
|
|
величине |
и |
|
|
|
|
противоположно |
|
|
|
|
|
направлены. |
|
Следовательно, эти составляющие уничтожают друг друга
Поэтому вектор магнитной индукции можно определить, просуммировав составляющие модулей вектора dB (этот вектор направлен вдоль положительной нормали к контуру с током)
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
dl |
Магнитное поле на оси кругового тока |
|||||||
|
|
|||||||
|
r |
|
|
dB |
|
|
|
|
R |
dBn |
|
|
|
Idl |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dB 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a |
А |
dB |
x |
4 r |
|
||
I |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
I I I |
||||||
|
|
0 |
||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
||
|
BdBsinsdlinsi2Rn |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2r |
|
|
l l |
4r |
4r |
|||||
|
|
|
l |
|
|
R |
||
|
Преобразуем полученное выражение, учитывая, что |
|
||||||
|
sin , |
|||||||
|
r 2 R2 a2 . После подстановки получим |
|
|
r |
||||
|
2 |
|
|
|||||
|
IRIR I |
|
|
|||||
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
Bsin |
|
|
|||||
|
|
22 22 |
22 |
|
|
|||
|
2r 2RaRa |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2Ra |
|
|
|
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
IR |
|
|
Магнитное поле на оси кругового тока |
|||||
B 0 |
|
|
|
||||||
|
2 |
23 |
|
|
|
|
|
I |
|
|
2R a |
2 |
В центре кругового тока a 0, |
B |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
индукция магнитного поля равна |
|
0 |
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IR |
|
|
|
Вдали от контура на оси x ( a R): B 0 3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Если умножить числитель и знаменатель |
IR I |
||||||||
B |
3 |
3 |
|||||||
этого выражения на , получим: |
0 |
|
|
0 |
|||||
2a |
2a |
||||||||
где S R2 - площадь, охватываемая круговым током.
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Магнитное поле на оси кругового тока
Учитывая, что произведение IS для контура с током есть магнитный момент контура, введенный нами ранее, выражение для индукции магнитного поля, созданного замкнутым круговым током вдали от тока, можно записать в виде:
p
B 0 m
2 r3
Записывая это соотношение приняли, что вдали от кругового тока a r.
Кафедра физики
Графическое изображение магнитного поля кругового тока
Покажем линии магнитной индукции поля кругового тока, лежащие в одной из плоскостей, проходящей через ось тока
dB
B
B B
I
Направления векторов индукции магнитного поля, в точке, лежащей на оси, которая проходит через центр кругового тока.
Кафедра физики
Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса-Остроградского для вектора B
Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку S называется величина
ФB BS cos Bn S,
где - угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции, Bn- проекция вектора B на нормаль к площадке.
Магнитный поток через площадку, в зависимости от ориентации вектора B по отношению к нормали, может быть как положительным, так и отрицательным, что определяется знаком проекции Bn.
Единицей магнитного потока в системе СИ является вебер (Вб).