Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
5.1.Поле прямого |
I |
тока |
|
Имеется тонкий, прямой, бесконечно протяженный проводник, по которому течет ток I.
Вычислим магнитную индукцию в точке А на расстоянии b от проводника.
Выделим элементарный участок тока dl, |
dl |
|
направим радиус-вектор |
rот элемента |
|
тока dl в точку А. |
|
|
Кафедра физики
b А
r
|
|
|
Кафедра физики |
|
Закон Био – Савара – Лапласа. |
|
|
||
|
Примеры расчета магнитных полей |
|
||
Поле прямого тока |
|
I |
dB |
|
Элемент тока dlсоздает в точке А |
|
b |
А |
|
магнитное поле с индукцией dB. |
|
|||
Положение dl на рисунке выбрано |
|
dB |
|
|
произвольно, вектор dBот любого |
|
|
||
другого dl в точке А будет иметь |
|
|
|
|
одно и то же направление – |
|
|
r |
|
перпендикулярно |
плоскости |
|
|
|
чертежа |
|
|
dl |
|
Следовательно, сложение векторов |
dB |
|
||
можно заменить сложением их модулей. |
|
|
||
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Поле прямого тока
Модуль dB определяется формулой
Idlsi
dB 0 2
4 r
Упростим формулу, выразив входящие в нее величины через один переменный параметр – угол .
Для этого дополним рисунок и введем новые обозначения.
sind d r*
r*d rd
I |
dB |
b |
А |
dB d
r* 
r
dl
rd
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Поле прямого тока |
|
|
|
Idlsi |
|
|||
|
|
dB |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
I |
dB |
|
|
4 r |
|
|
|
|
r |
b |
|
|
rd bd |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
b |
А |
|
, dl |
||||
|
sin |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
si |
||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
dB d |
|
В итоге получим: |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
IbdsinIsi |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
dB |
|
|
||||
|
r |
|
4 22 |
4b |
||||
|
|
|
bsin |
|
||||
dl |
rd |
Окончательно получили выражение: |
||||||
|
|
|
|
I |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
dB sind |
|
||||
|
|
|
|
|
4b |
|
|
|
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Поле прямого тока
I dB0 sind
4b
Для всех элементов тока угол изменяется в пределах от 0 до . Проинтегрируем в этих пределах полученное выражение:
I I
B 0 sind 0
4b 2b
0
Таким образом, магнитная индукция поля |
I |
B 0 |
|
прямого тока определяется выражением: |
2 b |
|
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
5.2.Магнитное поле равномерно движущегося заряда
Определим величину магнитного поля, создаваемого точечным зарядом q, движущимся с постоянной нерелятивистской скоростью v
Движущиеся заряды создают ток, поэтому выражение для B, которое создается движущимся зарядом, получим из формулы
Idl,r
dB 0 3
4 r
Пусть имеются носители заряда e любого знака, которые движутся упорядоченно со скоростью v .
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Магнитное поле равномерно движущегося заряда |
0Idl,r |
||
|
dB |
|
|
|
3 |
Эти носители создают ток I jS envS, |
4 r |
|
где S - площадь поперечного сечения проводника, n - число носителей заряда в единице объема (концентрация).
Преобразуем числитель формулы
I dl ,r Idl ,r enS dl v ,r enSdl v ,r
enSdlv,r
В итоге получим выражение вида dB 0
4 r3
Произведение Sdl это объем отрезка провода длиной dl, поэтому |
||
произведение |
nSdl |
равно числу носителей тока в этом объеме |
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Магнитное поле равномерно движущегося заряда
0enSdlv,r |
|
|
|
|
|
||||
dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Если полученное |
выражение |
разделить на |
nSdl |
, найдем |
|||||
магнитную |
индукцию поля, |
создаваемого |
одним |
носителем |
|||||
e |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
тока , , который движется со скоростью : |
|
|
|
|
|||||
0 ev,r |
Установлено, что это выражение справедливо |
||||||||
dB |
|
|
|
для любых точечных зарядов, размеры |
|||||
|
3 |
|
|||||||
4 r |
которых много меньше |
. |
r |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 qv,r |
|||
Заменив e на q, окончательно получим |
B |
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Магнитное поле равномерно движущегося заряда
qv,r
B 0 4 r3
В полученной формуле r - это радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения,r . - его модуль
Конец r неподвижен в выбранной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v, поэтому вектор B зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
В соответствии с полученной формулой вектор B располагается |
|
перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы vи |
r |
Кафедра физики
Закон Био – Савара – Лапласа.
Примеры расчета магнитных полей
Магнитное поле равномерно движущегося заряда
0 qv,r |
Направление вектора |
B |
определяется |
||
B |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
векторным произведением v ,r . |
|||
4 r |
|||||
B
r
v