2 семестр МП / Старые материалы - второй поток / Книга Калашникова / 6_1_Pole_v_dielektrikakh_str_77-86

6. Поле в диэлектриках

(краткие теоретические сведения)

1. Диэлектриками называют вещества, не проводящие электрического тока. В диэлектриках в отличие от проводников отсутствуют свободные носители заряда, способные перемещаться на значительные расстояния, создавая ток.

Изменения, происходящие в веществе, связаны с тем, что в составе атомов и молекул имеются положительно заряженные ядра и отрицательно заряженные электроны, которые смещаются под действием внешнего электрического поля. Молекула как в отношении создаваемого ею поля, так и в отношении испытываемых ею во внешнем поле сил подобна диполю.

Молекулы могут быть неполярными и полярными. У неполярных молекул центры "тяжести" положительных и отрицательных зарядов совпадают и их собственный дипольный момент (в отсутствие внешнего электрического поля) равен нулю. У полярных молекул центры тяжести зарядов разных знаков смещены относительно друг друга, в результате чего молекулы обладают собственным дипольным моментом.

2. Под действием внешнего электрического поля происходит поляризация диэлектрика. При этом в неполярных молекулах положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные – против поля, и возникает наведенный дипольный момент. Полярную молекулу внешнее поле стремится повернуть так, чтобы ее собственный дипольный момент установился по направлению поля.

3. В целом смещение зарядов друг относительно друга приводит к появлению нескомпенсированных зарядов на поверхности диэлектрика и, в особых условиях (см. п. 6), в объеме. Свобода перемещения таких зарядов ограничена и они называются связанными. Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика, а вносятся извне, называют сторонними. Будем обозначать связанные заряды как в отличие от обозначения , соответствующего сторонним зарядам. Поле в диэлектрике является суперпозицией поля сторонних зарядов и поля связанных зарядов:

.

4. Количественно поляризацию характеризуют дипольным моментом единицы объема, который называют поляризованностью . Поляризованность в данной точке определяется соотношением:

,

где - дипольный момент i-ой молекулы, - физически бесконечно малый объем^*, n – концентрация молекул, - средний дипольный момент отдельной молекулы.

Если диэлектрик изотропный и не слишком велико, то:

,

где – диэлектрическая восприимчивость, которая определяется свойствами вещества и не зависит от .

5. Вектор зависит как от поля сторонних зарядов , так и от поля связанных зарядов , а поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S определяется связанным зарядом диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S, со знаком минус.

.

Это уравнение выражает теорему Гаусса для вектора . В дифференциальной форме эта теорема имеет вид: , то есть дивергенция поля вектора равна с обратным знаком объемной плотности связанного заряда в той же точке.

^*Физически бесконечно малый объем содержит большое число молекул, но имеет размеры во много раз меньшие, чем расстояния, на которых заметно меняется макрополе .

6. Используя теорему Гаусса для вектора , можно показать, что в однородном изотропном диэлектрике любой формы, при условии отсутствия внутри него сторонних зарядов, в процессе поляризации появляются только поверхностные связанные заряды.

Действительно, для изотропного диэлектрика , для однородного диэлектрика и в результате получим:

.

В соответствии с теоремой Гаусса для вектора :

,

то есть , откуда .

Аналогичное соотношение справедливо и для объемных плотностей зарядов:

.

Значит в однородном диэлектрике , если .

Для наличия объемных связанных зарядов диэлектрик должен быть неоднородным, либо внутри него должны находиться сторонние заряды.

7. В результате поляризации на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков (см. рис.) появляется поверхностный связанный заряд .

Используя теорему Гаусса для вектора можно получить:

,

где и - проекции вектора в диэлектриках 2 и 1 на нормаль , а ( и - связанные заряды на поверхностях диэлектриков 1 и 2, прилегающих к границе раздела).

В частности, на границе раздела диэлектрика с вакуумом ().

,

где - проекция вектора (внутри диэлектрика вблизи его поверхности) на внешнюю нормаль к поверхности вещества.

В целом, можно утверждать, что вектор поляризации определяет связанный заряд в объеме и на поверхности диэлектрика: теорема Гаусса для вектора определяет , а граничные условия для вектора определяют .

8. Чтобы исключить сложности, связанные с вычислением неизвестного вектора через связанные заряды, которые в свою очередь определяются полем , вводят вспомогательный вектор в соответствии с соотношением:

.

Вектор называют электрическим смещением. При этом поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме только сторонних зарядов q, охватываемых этой поверхностью. Величина q, как правило, известна или легко поддается расчету:

.

Этот закон называют теоремой Гаусса для поля вектора .

В дифференциальной форме:

,

то есть дивергенция поля вектора равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке.

9. В случае изотропных диэлектриков . Подставив это соотношение в формулу для вектора , получим или , где - диэлектрическая проницаемость вещества. Для всех веществ , для вакуума .

В изотропных диэлектриках вектор коллинеарен вектору . Для анизотропных диэлектриков, свойства которых зависят от направления, эти векторы могут быть не коллинеарными.

Как и другие векторные поля, поле вектора изображают с помощью линий, которые проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора , а густота была бы пропорциональна модулю вектора .

Источниками и стоками поля являются любые заряды. Источниками и стоками поля вектора являются только сторонние заряды, а источниками и стоками поля являются связанные заряды.

10. Условия на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков могут быть получены из теоремы о циркуляции вектора и теоремы Гаусса для вектора . В результате оказывается, что непрерывна тангенциальная (см. рис.) составляющая вектора .

,

а разность нормальных составляющих вектора в общем случае определяется наличием стороннего заряда на границе раздела:

.

Если , то .

11. Следствием этих условий является преломление линий и на границе раздела, причем:

.

Соответствующая иллюстрация для сред с диэлектрическими проницаемостями и () представлена на рисунке.

12. На границе раздела диэлектрик-проводник , где - внешняя по отношению к проводнику нормаль, - плотность поверхностного стороннего заряда на проводнике, - нормальная составляющая вектора в приповерхностной области диэлектрика.

При этом связанный заряд в диэлектрике у поверхности проводника однозначно определяется величиной :

.

Этот результат можно получить, применяя теорему Гаусса для вектора . Так как на границе раздела есть как сторонние , так и связанные заряды, то . С другой стороны , откуда следует, что и, после преобразований, полученный выше результат.

13. Чтобы решить задачу по расчету поля в диэлектрике, если известно внешнее поле , необходимо определить поле связанных зарядов. В общем случае это сложная задача.

Однако, для важного частного случая, когда однородный и изотропный диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями внешнего поля:

.

Для доказательства рассмотрим заряженный проводник в вакууме. В состоянии равновесия поле внутри проводника , что достигается при определенном и единственном распределении поверхностного заряда . Поле в вакууме обозначим . Поверхность проводника эквипотенциальна.

Теперь заполним все пространство, где есть поле, однородным диэлектриком. При его поляризации появятся только поверхностные заряды , причем: (см. п. 12).

Внутри проводника поле по прежнему равно нулю. Это значит, что распределение всех зарядов в приповерхностном слое () подобно прежнему распределению сторонних зарядов .

Согласно теореме Гаусса для вектора :, где , поэтому .

Но если заряды, создающие поле, уменьшились в раз, значит и поле стало всюду меньше поля во столько же раз.

Как следствие, в этом случае , , , где - потенциал, U – разность потенциалов в диэлектрике (, U₀ – без него), - емкость конденсатора с диэлектриком, C – без диэлектрика.

14. Чтобы определить силу , действующую на заряд q в диэлектрике, необходимо учесть, что для того, чтобы заряженное тело поместить в диэлектрик, необходимо сделать полость. На поверхности полости возникнут связанные заряды, поэтому поле внутри полости будет отличаться от поля в сплошном диэлектрике. Кроме того, при поляризации диэлектрики деформируются (это явление называется электрострикцией), что приводит к возникновению механических напряжений и к появлению дополнительной механической силы, действующей на тело.

В случае жидкого или газообразного диэлектрика возможно применять формулы:

и .

По первой из них рассчитывают силу , действующую на заряд q в диэлектрике, по второй – силу взаимодействия между точечными зарядами q₁ и q₂, находящимися на расстоянии r друг от друга в среде с диэлектрической проницаемостью .

В твердом диэлектрике значение силы F изменяется от до в зависимости от формы полости, в которой размещают заряд q.

6. Диэлектрики в электрическом поле

(Примеры решения задач)

1) Между обкладками плоского заряженного конденсатора поместили параллельно им незаряженную стеклянную пластину. На поверхностях стеклянной пластины появились заряды Q₁ и Q₂.

Укажите ошибочные утверждения:

а)	заряды Q1 и Q2 называются сторонними зарядами;
б)	Q1>0;
в)	Q1+Q2=0;
г)	векторы напряженности внутри стеклянной пластины и вне пластины направлены в противоположные стороны.

Ответ а, б, г. Заряды Q₁ и Q₂ появились на поверхностях пластины в результате поляризации стекла в поле заряженного конденсатора, они принадлежат молекулам пластины и называются связанными зарядами. Полярность заряда Q₁ отрицательна, так как против поля смещаются отрицательные заряды. Пластина из однородного и изотропного диэлектрика (стекло – аморфный материал) размещена между эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов (конденсатора), поэтому поле внутри пластины коллинеарно полю .

2) Векторы смещения и напряженности в одной и той же точке диэлектрика связаны соотношением , если диэлектрик:

а)	однородный и изотропный;
б)	однородный и анизотропный;
в)	неоднородный и изотропный.

Ответ а, в. При не очень сильных полях поляризованность изотропного диэлектрика связана с полем внутри диэлектрика соотношением (см. п. 4). Величины и являются локальными характериками и их пропорциональность соблюдается при не очень сильных полях и для неоднородного вещества. Так как вектор смещения, соотношение , где , верно как для однородного, так и для неоднородного изотропного диэлектрика. При наличии анизотропии вектор , в общем случае, не коллинеарен вектору .

3) Как изменятся потоки векторов напряженности и смещения через замкнутую поверхность S, которая охватывает часть наэлектризованного трением диэлектрика, если включить внешнее электрическое поле?

а)	поток вектора изменится, поток вектора не изменится;
б)	поток вектора изменится, поток вектора не изменится;
в)	оба потока изменятся.

Ответ а. При электризации трением на поверхности диэлектрика появились сторонние заряды и соответствующие им связанные заряды. Если включить внешнее поле, поверхностная концентрация связанных зарядов в результате поляризации изменится. Это приведет к изменению потока вектора , так как он определяется алгебраической суммой всех зарядов внутри поверхности S. Поток вектора зависит только от сторонних зарядов и останется прежним.

4) К границе раздела двух диэлектриков прилегает воображаемая замкнутая поверхность A в виде бесконечно тонкого прямого цилиндра с площадью основания S. На границе отсутствуют сторонние заряды. Если и - векторы напряженности электрического поля вблизи границы в первом и втором диэлектриках, и - проекции этих векторов на нормаль к границе раздела, то:

а)	поток через замкнутую поверхность A равен ;
б)	поток через замкнутую поверхность A равен ;
в)	поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела .

Ответ б, в. Поток через поверхность A складывается из потока вектора через верхнее основание цилиндра и потока вектора через нижнее основание. Поток через боковую поверхность равен нулю, так как цилиндр бесконечно тонкий. В соответствии с определением и , где - единичный вектор внешней по отношению к поверхности A нормали к нижнему основанию цилиндра. Поэтому . В соответствии с теоремой Гаусса для вектора величина равна сумме всех зарядов внутри поверхности A, деленной на .