7. Электроемкость проводников и конденсаторов (краткие теоретические сведения) Электроемкость уединенного проводника

Главной особенностью равновесного статического распределения электрических зарядов в проводниках является то, что всюду в объеме проводника напряженность электрического поля должна быть равна нулю. Следствием этого являются следующие утверждения:

1. Потенциал всех точек проводника имеет одинаковое значение, которое называют потенциалом проводника.

2. Поверхность проводника является эквипотенциальной.

3. Объемная плотность заряда в проводнике равна нулю. Нескомпенсированные заряды распределены по поверхности проводника.

Из принципа суперпозиции электрического поля следует, что если поверхностную плотность заряда уединенного проводника в каждой точке поверхности увеличить в nраз, то все перечисленные выше свойства останутся справедливыми, а суммарный заряд проводника и его потенциал возрастут вnраз. Другими словами,потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду:

,

где -электроемкость проводника, зависящая от его формы и от диэлектрической проницаемости среды вокруг проводника. Электроемкость измеряется в СИ в фарадах (Ф).

Упражнение 7.1

Убедитесь в том, что электроемкость уединенного шарарадиусаравна.

Решение:

Потенциал шара радиуса , на поверхность которого нанесен заряд, равен

.

Сравнивая выражения потенциала шара и определение электроемкости, найдем, что: .

При соединении проводников с различными потенциалами проводящей проволокой их потенциалы выравниваются. Если проводники отстоят далеко друг от друга, то потенциал каждого из них можно рассматривать как потенциал уединенного проводника, и закон сохранения заряда позволяет найти потенциал проводников после их соединения.

Упражнение 7.2

Два уединенных проводника с электроемкостями и, заряжены до потенциаловисоответственно. Найдите потенциалпосле их соединения проволокой.

Решение:

При перераспределении зарядов, в результате которого потенциалы проводников станут равными , суммарный заряд системы останется неизменным. Поэтомуи, следовательно,

.

Если электроемкость одного из проводников очень велика, то его потенциал почти не меняется. На практике при соединении проводника с землей (заземлении) его потенциал становится равным постоянному потенциалу Земли, который, как правило, принимают равным нулю.

Электроемкость конденсаторов

Конденсатором называют систему из двух изолированных друг от друга проводников, один из которых наделен зарядом, другой - зарядом. Проводники называютсяобкладками конденсатора. Разность потенциалов между положительной и отрицательной обкладками- называютнапряжением на конденсаторе,а заряд-зарядом конденсатора. Напряжение на конденсаторе пропорционально его заряду:

,

где -электроемкость(или простоемкость) конденсатора. Обычно предполагается (если это специально не оговорено), что электрическое поле сосредоточено только в пространстве между обкладками и все пространство, в котором локализовано поле, заполнено однородным диэлектриком.

Упражнение 7.3

Покажите, что емкостьплоского конденсатораравна, где- площадь обкладок,- расстояние между обкладками,- диэлектрическая проницаемость среды между обкладками.

Решение:

Конденсатор называют плоским, если расстояние между его пластинами мало по сравнению с их размерами, т.е.<<. Электрическое поле между пластинами можно считать однородным всюду, кроме области вблизи краев и равным. Напряжение на конденсаторе, а его емкость. Отсюда

.

Упражнение 7.4

Покажите, что емкость сферического конденсатораравна,aи bрадиусы обкладок (a< b).

Решение:

Конденсатор называется сферическим, если его обкладками служат две концентрические сферы с радиусами aи b. Емкость найдем двумя способами:

1 способ: Напряженность поля между обкладками равна, поэтому напряжение между обкладками найдем по формуле. Для емкости получим:

.

2 способ: Пусть заряд конденсатора. Потенциалы удаленных друг от друга сферических обкладок будут при этом равны:,. При образовании концентрической системы потенциалы обкладок станут: ,. Учитывая, что,

Приходим к уже полученному выражению для емкости.

Упражнение 7.5

Покажите, что емкость цилиндрического конденсатораравна, гдеaи bрадиусы цилиндрических обкладок, а- их длина.

Решение:

Конденсатор называется цилиндрическим, если его обкладками служат два коаксиальных (соосных) цилиндра радиусов aи b (a< b) и длиной>>. Напряженность электрического поля между обкладками равна, а напряжение. Для емкости получим:

.