Лекция 4. Стационарные задачи квантовой механики.

Волновая функция стационарного состояния частицы имеет вид

,

где функция является решением стационарного уравнения Шредингера, или в развернутой форме

,

где потенциальная энергия явно не зависит от времени, полная энергия в каком-либо квантовом состоянии имеет определенное значение, плотность вероятности не зависят от времени.

Частица в потенциальной яме с непроницаемыми стенками.

Одномерная потенциальная яма. Потенциальная энергия частицы имеет вид

0,

,,

то есть, внутри ямы потенциальная энергия

равна нулю, а вне ямы обращается

в бесконечность (рис.1).

Для того, чтобы выполнялось

уравнение Шредингера

для одномерного движения частицы

вдоль оси x, функция вне ямы и на её краях должна обращаться в нуль.

Задача сводится к решению уравнения

Шредингера

(1)

внутри ямы:

с граничными условиями: , где

. (2)

Решение уравнения (1) хорошо известно из теории колебаний. Запишем это решение в виде

.(3)

Из граничного условия приследует, что.

Другое граничное условие приводит к квантованию энергии:

.(4)

Учитывая (2), получаем квантованные значения допустимой энергии частицы

, (5)

где n – квантовое число, а соответствующее ему значение называетсяуровнем энергии.

Первые три уровня энергии изображены на рис.1, слева. Состояние частицы с наименьшей энергией , () называетсяосновным (невозбужденным) состоянием, все остальные состояния являются возбужденными. Для того, чтобы перейти из основного в возбужденное состояние, частица должна получить энергию извне, равную .

Волновые функции частицы. Из (3) с учетом (4) получаем

Множитель A находим из условия нормировки

,

Таким образом, собственные волновые функции стационарных состояний частицы массы m в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками имеют вид

, где ,. (6)

Функции первых трех состояний изображены на рис.1, справа. В каждом квантовом состоянииэнергия имеет определенное значение, в котором функцияосциллирует внутри ямы и для заданного квантового числаимеетузловых точек, где волновая функция обращается в нуль, не считая точек на краях ямы (рис.1).

Трехмерная потенциальная яма с непроницаемыми стенками. Пусть частица находится внутри потенциального «ящика» в виде куба, длина ребер которого равна L. Потенциальная энергия внутри куба равна нулю, а на гранях куба и во всем остальном пространстве обращается в бесконечность. Вне «ящика» волновая функция .

Поскольку движение частицы в ящике вдоль осей ипроисходит независимо, волновую функцию можно представить в виде произведения:

В этом случае трехмерное уравнение Шредингера для стационарных состояний разбивается на три одномерных уравнения типа уравнения (1) для осей x,y,z. Решение этих уравнений приводит к полной энергии

, (7)

зависящей от трех квантовых чисел , которые принимают значения:1, 2, 3, 4…, независимо друг от друга ().

Энергетические состояния, для которых , являются невырожденными, им соответствует одна волновая функция. Остальные состояния оказываютсявырожденными: одному уровню энергии соответствует несколько квантовых состояний частицы с разными волновыми функциями.

Состояние с квантовыми числами - основное, оно имеет наименьшее значение энергии.