В зависимости от формы волновой поверхности различают
•плоские волны: волновые поверхности – параллельные плоскости:
•сферические волны: волновые поверхности – концентрические сферы.
11
5.2 Уравнение плоской и сферической волны
Уравнением волны – называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.
f (x, y, z,t) (x, y, z,t)
12
Уравнение плоской волны
Найдем вид волновой функции, в случае плоской волны предполагая, что колебания носят гармонический характер: Acos( t 0 )
Пусть 0 0 |
(0, t) Acos t |
|
|
|
|
x |
|||
Чтобы пройти путь x необходимо время |
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
(x, t) Acos t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
– это уравнение плоской волны.
13
Введем волновое число |
k 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
или в векторной форме k |
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
k 2 |
2 |
|
|
|
|||||
Так как T |
, то |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда уравнение плоской волны запишется |
|
||||||||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Acos( t kx) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
Acos( t kx 0 )
При поглощении средой энергии волны:
Ae t cos( t kx 0 )
-наблюдается затухание волны (уменьшение интенсивности волны по мере удаления от источника колебаний);
β – коэффициент затухания; А – амплитуда.
15
Уравнение сферической волны |
|
|
|
|
|
||||||
Пусть 0 0 |
|
|
|
|
|
|
A 1 |
||||
Амплитуда колебаний убывает по закону |
|||||||||||
Уравнение сферической волны: |
|
|
|
|
|
|
r |
||||
|
|
|
A |
|
|
|
r |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
|||
|
|
r |
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
cos( t kr) |
|
||||||
|
r |
|
|||||||||
При поглощении средой энергии волны:
Аr e t cos( t kr 0 )
16
β – коэффициент затухания.
5.6 Волновое уравнение
Распространение волн в однородной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных:
2 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
2 |
t2 |
или |
2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
t2 |
Всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению, описывает некоторую волну, причем -фазоваяυ скорость волны
Решением волнового уравнения |
2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
t2 |
является уравнение любой волны, например
сферической:
или плоской :
Ar cos( t kr)
Acos( t kr)
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение упрощается:
2 |
|
1 |
2 |
x2 |
|
t2 |
|
2 |
|||
Напоминаю, что = 2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
x2 |
y2 |
z2 |
|||||
оператор Лапласа: |
|
|
|
5.3Фазовая скорость
–это скорость распространения фазы волны.
ddxt
–скорость распространения фазы есть скорость распространения волны.
Для синусоидальной волны скорость переноса
энергии равна фазовой скорости.
19
5.4 Принцип суперпозиции. Групповая скорость
Принцип суперпозиции (наложения волн): при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений частиц.
Исходя из этого принципа и разложения Фурье, любая волна может быть представлена в виде волнового пакета или группы волн.
20