§6. Формула планка

Многочисленные попытки найти выход из этого тупика не приводили к успеху вплоть до начала XX в., когда М. Планк сформулировал гипотезу дискретных квантов энергии, последовательное развитие которой многими физиками (в первую очередь А. Эйнштейном и Н. Бором) в дальнейшем привело к определению границ примени­мости классической теории и соз­данию новой квантовой физики, громадное значение которой для развития всех естественных наук общеизвестно.

Гипотеза, выдвинутая Планком, заключалась в том, что энергия осциллятора не может принимать произвольные значения, а должна быть кратной некоторой вполне определенной величине E₀, именуе­мой квантом энергии. Другими словами, энергия E должна быть равнойnE₀, гдеn—обязательно целое число (n= 1,2,3,...). Это зна­чит, что излучаемая и поглощаемая осциллятором энергия также может принимать лишь вполне определенные (квантованные) значения, т. е. излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а определенными порциями — квантами.

(25)

Приняв эту гипотезу, уже нельзя исходить из равнораспределения энергии по степеням свободы и вычислять среднее значение энергии осциллятора указанным выше способом с использованием соотношения вида (23). Учитывая дискретное изменение E, нужно заменить интегралы в этом выражении бесконечными рядами и для определения <E>

найти отношение сумм этих двух рядов:

(26)

(что легко проделать, см. И.В. Савельев, т.3, § 7).

Вычисление средней энергии осциллятора легко провести, заметив, что каждый член геометрической прогрессии в числителе выражения (26) с точностью до знака равен производной по x= 1/(kT) от со­ответствующего члена прогрессии, находящейся в знаменателе этого соотношения:

(27)

(Итак, воспользовавшись )

Получили ; подставив в (20) <E> =kT, получим

; (28)

Учтя, что согласно (25) , получим

(29)

и из связи универсальной функции Кирхгофа и равновесной плотности теплового излучения , получим

(30)

Формулы (29) и (30) называются формулами Планка. Проанализируем эти фундаментальные соотношения. Очевидно, что при можно разложить экспоненциальную функцию в ряд:

Тогда, ограничиваясь в этом разложении вторым членом, получим формулу Рэлея — Джинса :

Значит, при малых частотах (точнее, при выполнении условия )квантовая формула Планка переходит в классическую фор­мулу Рэлея — Джинса. Следовательно, условия малости кванта энер­гии hv по сравнению с величиной kT определяет границы применимости классической теории. Если нельзя считать, то использование формулы Рэлея — Джинса незаконно и для описания свойств теплового излучения нужно применять формулу Планка.

Переходя от частот к длинам волн, запишем формулу Планка в виде, который удобно сравнивать с данными опыта:

(31)

Продифференцировав (31) по lи приравняв выражение к 0, можно получить значение постоянной Винаb, совпадающее с экспериментальным значением (см. формулу§4 (17), подробно см. И.В. Савельев, т.3, § 7, стр.30). Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.