§3. Равновесное тепловое излучение

Остановимся подробнее на понятии теплового равновесия. Для этого полезно обратиться к термодинамическому рассмотрению явлений внутри замкнутой полости.Рис.5

Пусть стенки этой полости полностью отражают падающий на них свет. Поместим в полость какое-либо тело, которое будет излучать световую энергию. Внутри полости возникнет электромагнитное поле и, в конце концов, ее заполнит излучение, находящееся в состоянии теплового равновесия с телом. Равновесие наступит и в том случае, когда каким-либо способом нацело устранится обмен теплом исследуемого тела с окружающей его средой (например, будем проводить этот мысленный опыт в вакууме, когда отсутствуют явления теплопроводности и конвекции). Лишь за счет процессов испускания и поглощения света обязательно наступит равновесие: излучающее тело будет иметь температуру, равную температуре электромагнитного излучения, изотропно заполняющего пространство внутри полости, а каждая выделенная часть поверхности тела будет излучать в единицу времени столько энергии, сколько она поглощает. При этом равновесие должно наступить независимо от свойств тела, помещенного внутрь замкнутой полости, влияющих, однако, на время установления равновесия. Плотность энергии электро­магнитного поля в полости, как будет показано ниже, в состоянии рав­новесия определяется только температурой.

Для характеристики равновесного теплового излучения важна не только объемная плотность энергии, но и распределение этой энергии по спектру. Поэтому будем характеризовать равновесное излучение, изотропно заполняющее пространство внутри полости, с помощью функции u_w — спектральной плотности излучения,т. е. средней энергии единицы объема электромагнитного поля, распределенной в интервале частот отwдоw+dwи отнесенной к величине этого интервала. Очевидно, что значениеu_wдолжно существенно зависеть от температуры, поэтому обозначим ее u(w,T).Полная плотность энергииU(T) связана сu(w,T) формулой

(10)

Строго говоря, понятие температуры применимо лишь для равновесного теплового излучения. В условиях равновесия температура должна оставаться постоянной. Однако часто понятие температуры также используют для характеристики раскаленных тел, не находящихся в равновесии с излучением. Более того, при медленном изменении параметров системы можно в каждый данный промежуток времени характеризовать ее температурой, которая будет медленно изменяться. Так, например, если отсутствует приток тепла и излучение обусловлено уменьшением энергии светящегося тела, то его температура также будет уменьшаться.

Установим связь между испускательной способностью абсолютно черного тела и спектральной плотностью равновесного излучения. Для этого подсчитаем поток энергии, падающий на единичную площадку, расположенную внутри замкнутой полости, заполненной электромагнитной энергией средней плотности U_w.Пусть излучение падает на единичную площадкув направлении, определяемом угламиqиj(рис. 6а) в пределах телесного угла dW:

(11)

Так как равновесное излучение изотропно, то в данном телесном угле распространяется доля, равная от всей энергии, заполняющей полость. Поток электромагнитной энергии, проходящей через единичную площадку в единицу времени,(рис. 6б)

(12)

Заменяя dW выражением (11) и интегрируя по j в пределах (0, 2p) и по q в пределах (0, p/2), получим полный поток энергии, падающий на единичную площадку:

(13)

Очевидно, что в условиях равновесия надо приравнять выра­жение (13) испускательной способности абсолютно черного тела r_w, характеризующей поток энергии, излучаемый площадкой, в единичном интервале частот вблизиw:

(14)

Таким образом, показано, что испускательная способность аб­солютно черного тела с точностью до множителя с/4 совпадает со спек­тральной плотностью равновесного излучения. Равенство (14) должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения, следовательно отсюда вытекает, что

f(w,T)= u(w,T) (15)

В заключение укажем, что излу­чение абсолютного черного тела (на­пример, свет, испускаемый малым отверстием в полости) уже не будет равновесным. В частности, это излу­чение не изотропно, так как оно рас­пространяется не по всем направле­ниям. Но распределение энергии по спектру для такого излучения будет совпадать со спектральной плотностью равновесного излучения, изотропно заполняющего пространство внутри полости. Это и позволяет пользовать­ся соотношением (14), справедливым при любой температуре. Никакой другой источник света не имеет сходного распределения энергии по спектру. Так, например, элек­трический разряд в газах или свечение под действием химических реакций имеет спектры, существенно отличные от свечения абсолютно черного тела. Распределение энергии по спектру раскаленных тел также заметно отличается от свечения абсолютно черного тела, что было выше проиллюстрировано (см. рис. 4, §2) сравнением спектров распространенного источника света (лампы накаливания с вольфра­мовой нитью) и абсолютно черного тела.