§2. Закон Кирхгофа

Поток энергии, испускаемой единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям, называется энергетической светимостью тела

(1)

Испускательной способностью называют спектральную плотностьпотока лучистой энергииdФ, излучаемого единичной площадкойво всех направлениях в интервале частот отwдо

Þr_w=(2) Можно дать другое определение: испускательная способность – это энергетическая светимость тела в единичном интервале частот. Испускательная способность тела зависит от температуры этого тела и не зависит от температуры окружающих его тел, а также не зависит от того, находится ли тело в равновесии с излучением или нет.

(3)

Излучение можно характеризовать вместо частоты длиной волны волны. Участку спектрабудет соответствовать интервал длин волн. Определяющие один и тот же участок величиныисвязанны простым соотношением , вытекающим из формулы:. Дифференцирование даёт:

(4)

Знак минус в этом выражении не имеет существенного значения, он лишь указывает на то, что с возрастанием одной из величин, или, другая величина убывает. Поэтому минус в дальнейшем мы не будем писать.Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервалможет быть представлена в виде:

(5)

Если интервалы исвязанны соотношением (4), т.е. относятся к одному и тому же участку спектра, то величиныидолжны совпадать:Заменив в последнем равенствесогласно (4), получим, откуда(6)

С помощью формулы (6) можно перейти от ки наоборот.

Второй важной характеристикой тел, участвующих в процессах поглощения и излучения световой энергии, будет поглощательная способность.Очевидно, что выбранная площадкаdSможет не только излучать световые волны, но и поглощать падающий на нее поток световой энергииdФ. Однако, как правило, площадкаdS может поглотить лишь часть падающего на нее потока лучистой энергии (обозначим егоdФ'), так как световые волны могут также отражаться или рассеиваться. (Предполагается, что световые волны не могут проходить сквозь площадкуdS. Коэффициент пропускания для нее равен нулю).Следова­тельно,dФ'£dФ.

Отметим, что поглощение будет различ­ным для разных участков спектра. Так, например, хорошо известно, что тонкий слой сажи практически нацело поглощает излучение в видимой части спектра, но в то же время характеризуется заметной про­зрачностью для инфракрасных лучей. По­этому, оценивая отношение dФ'/dФ, обя­зательно надо указать тот интервал длин волн (или частот), в котором проводится измерение поглощенного телом светового потока.

Назовем поглощательной способ­ностью тела a_l ту часть потока световой энергии, падающего на единичную площад­ку, которая им поглощается в единичном спектральном интервале вблизи длины волны l.

По определению, а_l£1. Тела, способные поглощать в любом интервале длин волн все падающее на них излучение, называютабсолютно черными. Для таких тел поглощательная способность тождественно равна еди­нице (a_lº1) Ниже будут подробно рассмотрены особенности излу­чения абсолютно черных тел и охарактеризована простая модель теп­лового излучателя, поглощающего весь падающий на него свет.

Вопрос о связи между испускательной и поглощательной способностями различных тел подлежит детальному выяснению. Весьма про­стые опыты показывают, что чем больше энергии поглощает тело, тем больше оно излучает. Для демонстрации этой особенности теплового излучения измеряют поток световой энергии от двух стенок полого металлического куба, заполненного теплой водой. (Куб Лесли.)Одна из стенок снаружи блестящая — она много света отражает и мало поглощает. Другая стенка зачернена. Ее коэффициент поглощения велик. Фотоприемник (термостолбик), соединенный с чувствительным гальванометром, поочередно подносится к двум этим стенкам куба, и отброс гальванометра, регистрируемый при измерении интенсивности излучения зачерненной стенки, будет во много раз больше, чем при измерении светового потока от блестящей стенки (рис. 1).

Кирхгофу принадлежит заслуга детального термодинамического исследования вопроса о связи между испускательной и поглощательной способностью. Теорема Кирхгофа утверждает, что отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности зависит только от температуры тела, но не от его природы. В противном случае равновесное излучение не могло бы существовать в полости, где есть тела различной природы. Другими словами, отношение одинаково для всех тел, т.е. является универсальной функцией частоты (или длины волны) и температуры:

(7)

Доказательство теоремы Кирхгофа основано на втором законе термодинамики, по которому тепловое равновесие, установившееся в замкнутой системе, не может быть нарушено простым обменом тепла между частями системы.

Пусть в замкнутой полости наряду с другими телами имеется абсолютно черное тело, поглощающая способность которого . Температура всех тел в состоянии равновесия одинакова. Тела, находящиеся в полости, обмениваются излучением, но этот обмен не нарушает тепловое равновесие. Поэтому излучение, посылаемое внутрь полости в единицу каким-то участкомстенки черного тела, равно излучению, поглощаемому им за то же время. Так как черное тело поглощает все падающее на него излучение, тохарактеризует все излучение, доходящее до выделенного участка стенки от всех остальных тел, находящихся в полости. Заменимдругой площадкой с той же температурой, но не являющейся частью абсолютно черного тела и характеризующейся испускательнойи поглощательнойспособностями. За единицу времени эта площадкапо-прежнему получает излучение, ибо это есть излучение, приходящее от всех остальных тел, оставшееся неизменным. Из этого излучения площадка поглощает только часть, равную. За это же время она излучает поток энергии. Так как тепловое равновесие не может нарушаться этим обменом энергий, то должно быть, откуда- отношение испускательной способности к поглощательной, одинаковое для всех тел (т.е. представляет собой универсальную функцию температуры и длины волны) и равное испускательной способности абсолютно черного тела).

Теорема Кирхгофа играет существенную роль в термодинамике излучения и может быть использована для решения различных задач. В частности, рассмотрим свойства абсолютно черного тела. По определению, его испускательная способность равна введенной выше универсальной функции:

(8)

Это соотношение показывает, что все абсолютно черные тела имеют одно и то же распределение энергии излучения по спектру, а их энергетическая светимость одинаково изменяется с температурой. Следовательно, открывается возможность экспериментальной проверки следствий закона Кирхгофа и опытного определения вида универсальной функции . Для этого необходимо создать тепловой излучатель, поглощающий все падающие на него лучи, и исследовать его испускательную способность как функцию длины волны и температуры. Экспериментальное решение такой задачи базируется на использовании очень простой модели абсолютно черного тела.

Представим себе полое тело с очень маленьким отверстием, через которое излучение может попадать внутрь полости и выходить оттуда. Любой луч света, попавший внутрь этой полости, после нескольких отражений будет поглощен ее стенками, а вероятность того, что он выйдет наружу, практически равна нулю. Такое полое тело должно с весьма большой точностью удовлетворять условию , определяющему основное свойство абсолютно черного тела. Излучение, которое испускает такое тело, будет определяться температурой стенок полости (рис. 2).

Многочисленные примеры подтверждают реальность описанной схемы явления. Если взять коробку, покрашенную внутри белой краской, то малое отверстие в ней будет казаться совершенно черным. Столь же черными кажутся снаружи окна комнат, внутри которых достаточно светло в солнечный день. Бархат или другой материал с разветвленной поверхностью кажется нам более черным, чем выкрашенная в черный цвет гладкая поверхность кожи или дерева. Число таких примеров велико. Согласно закону Киргофа испускательная способность такого устройства очень близка к , причемTозначает температуру стенок полости. Т.о., если стенки плоскости поддерживать при некой температуреT, то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр с помощью дифракционной решетки и измеряя интенсивность различных участков спектра, можно найти экспериментально вид функции.

Результаты таких опытов приведены на рис.3. Различные кривые относятся к различным значениям температуры T абсолютно черного тела.. Площадь, охватываемая кривой, дает энергетическую светимость абсолютно черного тела при соответствующей температуре. Из рис.3 видно, что энергетическая светимость абсолютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимумиспускательной способности с увеличениемTсдвигается в сторону более коротких волн. (рис. 3).

Понятие абсолютно черного тела играет большую роль в термодинамике излучения. Фактически лишь использование различных моделей абсолютно черного тела дает возможность в этом разделе установить связь между теорией и экспериментом. Испускательная способность любого нечерного тела, нагретого до определенной температуры, может значительно отличаться от испускательной способности абсолютно черного тела. В качестве примера на рис. 4 приведена для раскаленной вольфрамовой проволоки зависимость испускательной способности от длины волны, иллюстрирующая, сколь сильно могут отличаться испускательные способности абсолютно черного и нечерного тел.

Согласно теореме Кирхгофа, испускательная способность произвольного нечерного тела может быть записана в виде:

(9)

Чем больше отличается от единицы поглощательная способность этого нечерного тела, тем больше отличие его испускательной способности от абсолютно черного тела. Лишь условие ликвидирует это различие.