8. Квантовая теория.

Исторически квантовая физика возникла как раз при попытке объяснения закономерностей равновесного излучения. В течение 6 лет берлинский профессор Макс Планк занимался поиском путей, которые дали бы возможность уменьшить долю энергии, излучаемой в области высоких частот. Проблема была разрешена с помощью следующей гипотезы, предложенной М.Планком в 1900г.

Гипотеза М.Планка.

* Вещество состоит из атомных осцилляторов, взаимодействующих с тепловым излучением.

*Гипотеза о квантах: Возможные значения энергии осцилляторов, совершающих колебания с частотой ,дискретны:

, (15)

где - энергия невозбужденного (основного) состояния осциллятора. Планк полагал, что

. В дальнейшем выяснилось, что . Квантовый осциллятор, в отличие от классического осциллятора, нельзя остановить, в состоянии с минимальной энергиейон совершает так называемые нулевые колебания.

Здесь - новая фундаментальная физическая константа, введенная Планком и определенная из эксперимента с большой точностью.

• Атомные осцилляторы могут обмениваться энергией с излучением только порциями (квантами) величиной (рис.6). В результате такого обмена достигается равновесное состояние в системе «излучение + вещество».

М.Планк предположил, что частицы вещества, излучающие волны с частотой ,

могут изменять свою энергию только

скачкообразно, дискретными порциями .E

Такая скачкообразность немыслима в

классической физике. В качестве излучающих

«частиц» он вводит осцилляторы. По закону

Кирхгофа распределение равновесного

излучения не зависит от устройства излучателей

и должно получаться и в том случае, когда

в равновесии с излучением находятся осцилляторы.

Если в равновесном состоянии число Рис.6. Обмен энергией осцилляторов

осцилляторов с наименьшей энергией с излучением.

равно , то число возбужденных осцилляторова). Излучение:

с энергией равно б). Поглощение:

(16)

в соответствии с распределением Больцмана, где . Только возбужденные осцилляторы могут испускать квантыи давать вклад в энергию излучения частоты.

Средняя энергия осциллятора.

Рассмотрим осцилляторы, которые дают вклад в энергию

излучения частоты (рис.7). Полное число осцилляторов

Сумма в скобках представляет собой убывающую

геометрическую прогрессию со знаменателем Рис.7. Зависимость

.от

Найдем полную энергию возбужденных осцилляторов:

.

На один осциллятор приходится в среднем энергия возбуждения, равная

(17)

Распределение Планка по частоте для равновесного теплового излучения.

Стоячие волны в полости можно рассматривать как электромагнитные осцилляторы со средней энергией , даваемой формулой (17). Средняя энергия осциллятора не должна зависеть от его устройства. Если вещество стенок полости поддерживается при температуреT и находится в равновесии с тепловым излучением в этой полости, то

.

Число электромагнитных осцилляторов в интервале частот от добыло найдено в (11). Тогда

Поскольку , то

(Формула Планка) (18)

Первый множитель в распределении Планка (18) имеет смысл числа электромагнитных осцилляторов в единице объема и в единичном интервале частот, второй множитель – средняя энергия одного осциллятора равновесного теплового излучения при температуре T.

Распределение Планка (18) представлено на рис.8 (кривая 3).

Вклад низкочастотных и высокочастотных осцилляторов в энергию излучения различен.

1). Низкочастотные осцилляторы .

Из (18) следует ,

Что совпадает с классическим результатом, полученным исходя из закона равномерного распределения энергии по электромагнитным колебаниям в полости (закон Рэлея – Джинса, кривая 1 на рис.8).

Нагретые стенки полости можно условно заменить набором излучателей (осцилляторов) всевозможных частот. Излучатели малой частоты будут вести себя, как полагается, по законам классической статистической физики, для них дискретность энергии и квантовые свойства несущественны. Каждый из них приобретет в среднем энергию , гдеT – температура стенок. Такую же энергию в среднем приобретут электромагнитные осцилляторы теплового излучения, находясь в равновесии со стенками.

2). Высокочастотные осцилляторы .

, средняя энергия осциллятора и из (19) следует

(Распределение В.Вина) (19)

Структуру формулы (19) предсказал немецкий физик Вильгельм Вин еще в 1886 году, анализируя эксперименты по излучению черного тела. Формула (19) согласуется с экспериментальными данными при высоких частотах (рис.8, кривая 2).

Почти все высокочастотные осцилляторы находятся в невозбужденном (основном) состоянии с энергией E₀. Для перевода осцилляторов даже в первое возбужденное состояние с энергией E₁ требуется большая энергия , поэтому такие переходы маловероятны и происходят весьма редко. Доля возбужденных осцилляторов с ростом частоты резко падает (по экспоненциальному закону), их вклад в излучение незначителен.

1 2

3

Рис.8.Зависимость спектральной плотности энергии теплового равновесного

излучения от частоты.

1 – закон Рэлея – Джинса, 2 – распределение В.Вина,

3 – распределение М.Планка.

Закон Стефана – Больцмана для излучения АЧТ.

Спектральная светимость абсолютно черного тела (АЧТ), для которого на всех частотах, равна. Для вычисления полной энергетической светимостивоспользуемся формулой Планка (18), в которой введем переменную. Тогда

Вычисление интеграла дает константу, равную . В результате получим

(Закон Стефана – Больцмана), (20)

где постоянная Стефана – Больцмана выражается через универсальные константыи равна.

Полную плотность энергии излучения , а значит и, можно определить, вычисляя площадь под кривой 3 (теоретической или экспериментальной) на рис.8.

Закон обнаружил австрийский физик Йозеф Стефан в 1879 г при анализе экспериментальных данных. Затем его ученик Людвиг Больцман через 5 лет вывел его, применяя методы термодинамики.

Смещение максимума кривой зависимостиот частотыпри изменении температуры.

В максимуме кривой 3 на рис.8 производная равна нулю, то есть при. Вычисления приводят к уравнению

, где

Это уравнение можно решить методом последовательных приближений:

, и так далее. В результате получимзакон смещения:

(21)

Согласно этому закону с увеличением температуры

от T₁ до T₂ максимум кривой распределения смещается T₂>T₁

в сторону более высоких частот (рис.9). При этом

площадь под кривой распределения, как следует из закона T₁

Стефана – Больцмана, увеличивается в раз.

Рис.9. Закон смещения.

Распределение энергии излучения по длинам волн.

В теории в качестве переменной удобна частота , а в экспериментах преимущественно используется длина волны. Эти величины связаны соотношением. На рис 10 показана схема перехода от частот в распределении Планка к распределению по длинам волн.

Рис.10. Схема перехода от частот к длинам волн.

Из равенства плотностей энергии излучения следует , или

.

После преобразования получим распределение Планка по длинам волн

(Формула Планка) (22)

Закон смещения В.Вина.

В максимуме кривой при

производная . Решение

полученного уравнения приводит к закону

смещения максимума кривой распределения с

изменением температуры

Рис.11. К закону смещения Вина.

(Закон смещения В.Вина). (23)

Постоянная Вина . В.Вин установил этот закон в 1893г.

Максимум кривой распределения Планка смещается в сторону более коротких длин волн при увеличении температуры. При этом площадь под кривой распределения увеличивается в соответствии законом Стефана – Больцмана.

Заметим, что функциональные зависимости в формуле Планка (18) от частоты и в формуле Планка (22) от длины волны различны. Результат дифференцирования для нахождения законов смещения приводит к разным уравнениям, поэтому .

Формула Планка подтвердилась экспериментом во всех известных областях частот и температур. Сравнение теории с экспериментальными данными позволило определить не только постоянную Планка , но и постоянную Больцмана, уточнить значения числа Авогадро, заряда электрона.

14 декабря 1900г М.Планк в Немецком физическом обществе доложил о теоретическом выводе закона равновесного теплового излучения. Этот день стал датой рождения квантовой физики. В 1918г Планк был удостоен Нобелевской премии: «За открытие кванта действия ».

Вопросы.

1. В вакууме пространственно разделенные тела могут обмениваться энергией только путем излучения и его поглощения. Квантовый характер обмена энергией между телами переходит в классический …

А): при низких частотах теплового излучения ();Б): при высоких частотах излучения ();В): при частотах вблизи максимума теплового излучения ().

2. Какие из представленных формул являются законами смещения максимума в спектральном распределении энергии теплового излучения?

А) . Б) . В)Г).

3. Вследствие повышения температуры максимум спектральной светимости абсолютно черного тела сместился с длины волны до длины волныВо сколько раз изменилась интегральная энергетическая светимость?

А) Увеличилась в 2 раза; Б) уменьшилась в 2 раза; В) уменьшилась в 4 раза; Г) увеличилась в 8 раз; Д) увеличилась в 16 раз.

13