Дифракция
Фраунгофера. Метод векторных диаграмм
Приближения Френеля,
Фраунгофера и геометрическая оптика
•В зависимости от расстояний от источника излучения и плоскости наблюдения до отверстия, длины волны излучения и размера отверстия можно выделить три характерные области дифракции:
геометрооптическую, дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера.
•Различные случаи дифракции отличаются количеством открытых зон Френеля.
•Количественным критерием служит параметр p . Он равен отношению радиуса первой зоны
Френеля к радиусу отверстия R. Если отверстие имеет щелевидную или квадратную форму, то полагают, что равен половине размера щели или стороны квадрата.
• Область приближения геометрической оптики
соответствует значениюp 1 .Открыто много зон Френеля.
• |
Область дифракции Френеля - |
|
|
p |
1 |
|
одна или несколько зон Френеля. |
|
• |
Область дифракции Фраунгофера - |
|
|
Открыта часть зоны Френеля. |
p 1 |
|
|
|
.Открыты
.
•Отметим, что нет резких границ между различными областями дифракции. Они постепенно переходят друг в друга.
Дифракция Фраунгофера на щели
Каждая точка отверстия является источником вторичных волн волн. Рассмотрим участок длиной dx, расположенный внутри отверстия на расстоянии
x от края.
Волны, излучённые с отрезка dx распространяются по всем направлениям (-π/2 < φ < π/2).
Рассмотрим волны, распространяющиеся вдоль прямой, образующей угол φ с перпендикуляром к преграде.
Волны, излучённые с отрезка dx, запаздывают по фазе на
kx sin ,
k v - волновое число (модуль волнового вектора).
Дифракция Фраунгофера на щели Точная теория (Углубленный уровень)
Запишем уравнение волны, испущенной с участка dx в рассматриваемом направлении. Пусть Е0 – амплитуда волны,
испущенной из всего отверстия в рассматриваемом направле- нии, тогда амплитуда волны, испущенной с участка dx равна
E0x Eb0 dx.
Уравнение волны, испущенной с участка dx в рассматриваемом направлении:
dE Eb0 ei t kxsin dx.
Точная теория
dE Eb0 ei t kxsin dx.
Для волны, испущенной из всего отверстия в рассматри- ваемом направлении.
E |
0 |
|
0 |
e |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b |
i t kxsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
b |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
E |
|
i |
t kxsin |
|
|
|
|
E |
|
|
||
|
E |
0 |
0 |
|
e |
|
|
|
dx |
0 |
ei t |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||||
|
|
|
E |
ei t |
|
e ikxsin |
|
|
|
E0e |
i t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ik sin |
|
||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b e ikxsin dx
0
e ikbsin 1
ikb sin .
Точная теория
e ikbsin 1
E E0ei t ikbsin .
Преобразуем полученное выражение к симметричной форме.
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
b |
|
b |
|
e ikbsin 1 |
|
e ik |
2 sin e ik |
2 sin |
e ik 2 sin e ik |
2 sin |
|
|||||||
ikbsin |
|
|
|
|
|
|
ikbsin |
|
|
|
||||
|
ik b sin |
e |
ik b sin |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||
e 2 |
|
2 |
|
e ik |
|
|
e iu e iu |
e iu , |
|
|||||
|
|
2 sin |
|
|||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
2iu |
|
|
|
|
2ik |
2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
u k b sin . |
|
2 |
Точная теория
|
e iu e iu |
sin u |
e iu . |
|
|
||||
|
2iu |
e iu |
u |
|
|
|
|||
|
e ikbsin |
|
|
|
|
|
|||
Итак, |
E E0e |
i t |
1 |
E0e |
i |
t u sin u |
. |
||
|
ikb sin |
|
u |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
где |
u k b sin . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Уравнение волны, испущенной из всей щели в рассматриваемом направлении:
E |
E |
|
b |
|
|
sin u e |
2 |
sin |
. |
||
|
|
i t k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
u |
|
|
|
Точная теория
Интенсивность излучения, испущенного из всей щели в |
||||||||||
рассматриваемом направлении определяется квадратом амплитуды |
||||||||||
|
|
|
I |
|
E |
|
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 sin u |
|||
E2 |
E2 |
|
ei t u |
|
. |
|||||
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
||
|
|
|
|
|||||||
sin u |
2 |
|
|
|
|
|
, |
I I0 |
u |
|
|
|
|
|
|
где |
u k b sin . |
|
2 |
Точная теория
|
|
|
|
|
2 |
b |
|
|||
sin u |
2 |
|
sin |
|
|
|
|
sin |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I I0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
sin |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Исследуем полученную функцию. При u → 0
Это максимальное значение этой функции. При возрастании модуля u функция будет убывать. Это убывание не будет монотонным вследствие осцилляций числителя.
Теперь можно определить, при каких значениях угла дифракции наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности излучения.
sinu u 1.