Модуль4.

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Лекции 1-2

Предел и непрерывность.

Основные понятия.

Рассмотрим пространство множество точек с координатами . Расстоянием между двумя точками называется - это евклидово расстояние между двумя точками.

Назовем замкнутым шаром с центром в точке и радиусом множество точек .

Открытый шар с центром в точке и радиусом - множество точек

Замкнутым кубом с центром в точке и стороной называют множество точек

Открытым кубом с центром в точке и стороной называют множество точек

Важно, что если мы возьмем шар с центром в точке и радиусом , то он всегда будет содержаться в кубе с центром в точке и стороной .

,

Доказательство:

Возьмем произвольную точку , тогда выполняется неравенство:

- по определению шара. Мы хотим доказать, что , т.е. . Действительно, , т.к. , значит , т.к. выполняется неравенство для куба.

Утверждение доказано.

Теперь возьмем , тогда . Мы хотим поместить этот куб в какой-то шар, тогда получим:

, т.к. - по определению куба; n – размерность пространства. Тогда точка , которую мы взяли, будет принадлежать шару: - радиус шара, в который можно вписать куб.

Получаем цепочку включений: . Аналогичное включение можно записать для открытых шаров и кубов.

Это нужно нам для того, чтобы в дальнейшем говорить, что принадлежность шару эквивалентна принадлежности кубу и наоборот – ввиду этих неравенств.

Определение: Множество называется открытым, если любая точка принадлежит ему вместе с некоторым открытым шаром (можно сказать, что и вместе с некоторым замкнутым шаром, потому что если точка содержится с некоторым открытым шаром, то возьмем замкнутый шар с радиусом, допустим, в два раза меньше радиуса открытого шара, и он тоже будет принадлежать этому множеству).

- определение открытого множества.

Примеры:

;

Доказательство:

Возьмем произвольную точку из открытого шара: тогда . Возьмем , тогда

рассмотрим шар с центром в точке и радиусом : тогда

, т.е. любая точка, принадлежащая маленькому шару, принадлежит и большому шару.

Пояснение: т.к. , . А мы брали , поэтому , а значит и

.

4)

Действительно, если мы возьмем точку такую, что , то

Определение: Множество называется связным, если найдется непрерывная кривая, лежащая в , соединяющая точки .

Т.е. найдется n функций такие, что кривая задается уравнением:

, и эти функции непрерывны на .

Определение: Множество называется односвязным, если мы возьмем любую замкнутую кривую в этом множестве, будем стягивать ее в точку и все равно при этом оставаться в этом множестве (множество, приведенное для примера связного множества, не является односвязным).

Определение: Отрезком, соединяющим точки , называются такое множество точек

Определение: Множество называется выпуклым, если .

Пример: Промежуток на - это отрезок, интервал, полуинтервал, луч, открытый луч, вся числовая прямая. Можно сказать, что промежутком на называют всякое выпуклое множество, или что промежутком на называют всякое связное множество.

Предел последовательности.

Определение1: Последовательность точек , если .

Определение2: Последовательность точек , если .

Утверждение: Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство:

Возьмем по определению1 , это означает, что ,

тогда , т.е. выполняется определение2.

Доказано.

Пусть по определению2 , т.е. , тогда

, тогда возьмем , и тогда

, т.е. точка , т.е. для точки выполняется неравенство: , что соответствует определению1.

Утверждение доказано.

Тот факт, что определение 1 эквивалентно определению 2 можно выразить еще так: последовательность точек стремится к точке , когда есть покоординатная сходимость.

Определение3: Последовательность точек называется ограниченной, если она содержится в некотором кубе (шаре), замкнутом или открытом. Причем можно считать, что она содержится в шаре или кубе с центром в начале координат.

Действительно, если то она содержится и в :

Теорема Больцано-Вейерштрасса:

Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:

Пусть последовательность ограничена:, тогда тоже ограничена, потому что .

Сначала извлекаем сходящуюся последовательность из последовательности : она ограничена, поэтому из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность:. Теперь рассмотрим подпоследовательность второй координаты : она тоже является ограниченной, значит из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность , при этом последовательность осталась сходящейся, потому что - подпоследовательность , и т.д. Т.е. когда мы получили подпоследовательность , то она будет сходящейся, и все остальные последовательности координат тоже при этом остаются сходящимися. Значит, и - тоже сходится, т.к. есть покоординатная сходимость.

Теорема доказана.

Определение4: – предельная точка множества , если существует последовательность точек из множества А, сходящаяся к точке и , т.е. если .

Предельная точка может принадлежать множеству А, а может и не принадлежать.

Пример: У открытого шара множество предельных точек – замкнутый шар, у замкнутого шара – тоже замкнутый шар.

Определение5: Объединение множества и его предельных точек называется замыканием.

Пример: Замыкание открытого шара - замкнутый шар - ставим черточку сверху при замыкании.

Определение6: Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, т.е. все его предельные точки ему принадлежат.

Примеры: (из того, что точка принадлежит множеству следует, что должна существовать последовательность точек множества, сходящаяся к ней, а этому множеству ничего не принадлежит);

;

Теорема (связь между открытыми и замкнутыми множествами):

Если А – замкнутое, то - открытое .

Если А – открытое, то - замкнутое.

Доказательство:

Доказывать только один пункт не достаточно, потому что существуют множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми.

1. Пусть А – замкнутое, тогда

предположим, что не является открытым, построим отрицание к определению открытого множества:

Если точка не принадлежит , то она принадлежит А, но это есть определение предельной точки: само не принадлежит множеству А, но в любой его окрестности найдутся точки из А:

предельная точка для множества , а - замкнутое, значит . Пришли к противоречию, которое получилось из предположения, что множество А не является открытым.

Первый пункт доказан.

2. Пусть А – открытое, тогда

рассмотрим множество : возьмем произвольную точку . Мы хотим доказать, что это множество является замкнутым, т.е. содержит все свои предельные точки. Предположим обратное: пусть множество A содержит в себе не все свои предельные точки. Тогда пусть не является замкнутым, это означает, что предельная точка для , но . Так как , то , а A – открытое множество, значит принадлежит А вместе с некоторой окрестностью, т.е. . Но тогда мы не можем приблизиться к точке по точкам множества , потому что, т.к. эта точка предельная, существует последовательность , такая что , т.е. мы получили, что в любой окрестности точки есть элементы множества . А ранее было доказано, что найдется окрестность, в которой нет элементов . Пришли к противоречию.

Теорема доказана.