2 семестр МПиТК / 2-й семестр / Лекции Соколова / 2_8

Неявные функции.

Рассмотрим сначала уравнение, связывающее две переменные. Здесь может получиться все, что угодно.

Нас интересует вопрос, когда это уравнение задает как функцию от .

Теорема 1. Пусть задана , точка такая, что . И функцияопределена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка в некоторой окрестности . При этом на . Тогда если мы рассмотрим множество , то

Для любого прямоугольника , число можно уменьшить таким образом, что на пересечении , где, выражается однозначно через , то есть , которая непрерывно дифференцируема на .

Замечание: мы требовали, чтобы на всей , в силу непрерывной дифференцируемости достаточно потребовать, чтобы в самой точке .

Пояснение:

Допустим у нас есть окружность

Доказательство:

У нас , пусть для определенности . Зафиксируем , тогда рассмотрим функцию .

Получим , значит . Значит функция в этой точке является возрастающей, и вообще она возрастает везде на промежутке . Значит

при

при . Наша задача состоит в том, чтобы по произвольному найти единственный.

Зафиксируем .

Найдем такое, что .

. Исходя из полученных неравенств и того, что функция у нас непрерывна, значит найдется целая окрестность, где она меньше нуля, получаем, что

при .

при .

С одной стороны она больше нуля, с другой меньше, тогда по непрерывности

.

Если задана функция f (x,y) и мы рассматриваем множество точек , что f(x,y) = 0, и в некоторой окрестности точки f (x,y) непрерывно дифференцируема, и во всей окрестности, тогда для любого прямоугольника , такой что его замыкание , то число можно уменьшить таким образом, что если мы возьмем новый прямоугольник , множество задается уравнением , где и является непрерывно дифференцируемой на промежутке . Мы доказали, что y выражается через х: мы уменьшили окрестность и для любого x нашли соответствующий y, такой что (x,y) принадлежит множеству , т.е. . Докажем, что полученная функция будет непрерывно дифференцируема и вычислим ее производную.

Зададим приращения точке , такие что , тогда распишем приращение функции: , причем в промежуточной точке - одно и то же, т.к. у нас в формуле Тейлора для функции n – переменных . Заметим, что у нас , т.к. обе эти точки принадлежат по условию множеству . Тогда

.

Устремим к нулю, тогда, т.к. по условию частные производные непрерывны, при . Нам нужно теперь доказать, что из того, что следует, что тоже стремится к нулю. Т.е. фактически нужно доказать, что функция является непрерывной. Выразим из полученного равенства :

.

Производная непрерывна на (вот здесь нам нужно, что прямоугольник содержится в вместе с своим замыканием, потому что когда мы говорим об ограниченности непрерывной функции, нам нужно замкнутое множество), значит она является ограниченной на этом множестве: . и также непрерывна на , значит она достигает своего локального минимума, причем этот , . Значит , а из этого следует, что при . Теперь мы можем устремить к нулю, тогда получим:

.

Дифференцируемость функции доказана. Еще разговор шел о непрерывной дифференцируемости. Т.к. у нас обе функции и непрерывны и , то и функция является непрерывной.

Теорема доказана.

Пример:

Рассмотрим в качестве примера функцию , - окружность в плоскости xy, она и будет составлять множество . Выделим двумерную окрестность точки так, чтобы для всех точек в этой окрестности (окрестность, обозначенная на рисунке пунктирной линией не может быть взята в качестве , т.к. в точках (они отмечены на рисунке) производная ). В качестве начального прямоугольника берем прямоугольник, который полностью содержится в , вместе со своим замыканием.

В замечании мы говорили, что неравенство нулю на всей окрестности можно заменить на вследствие ее непрерывности, но тогда придется немного изменить условие теоремы: нужно было бы уменьшать не только a, но и b, т.к. теперь мы можем утверждать, что существует некоторая окрестность точки , в которой , а окрестность мы берем не только по x, но и по y. Если же мы возьмем в качестве точку, обозначенную на рисунке , в которой , то для нее мы совсем ничего не можем сказать, потому что мы не сможем найти такую окрестность этой точки, в которой функция выражается через х однозначно.

Обобщим доказанную теорему.

Теорема2:

Звучит почти так же, как теорема 1, только точка - пространственная.

Пусть задана функция , т.е. - непрерывно дифференцируемая, . - множество таких точек, что . Предположим, что в некоторой окрестности , где , функция непрерывно дифференцируема и ,в этой окрестности тогда каков бы ни был - мерный прямоугольник , такой что , число можно уменьшить таким образом, что и множество , причем функция - непрерывная дифференцируемая функция многих переменных и

.

Все точно так же, только над x появится черточка и .

Теорема3:

Пусть заданы функции , где , , i меняется в пределах: . Тогда множество . Берем точку , говорим, что в некоторой окрестности этой точки частных производных (у нас m функций и m переменных, ранее мы накладывали условие только на y) мы завяжем в следующее условие. Составим Якобиант (определитель матрицы Якоби):

. Если , где , то каков бы ни был прямоугольник , , числа можно уменьшить таким образом, что для прямоугольника

, множество задается уравнениями: , причем имеют непрерывные частные производные.

Пример:

n = 1, m = 2;

, , - сечение шара плоскостью.

Приведенные уравнения называются уравнениями связи.

Обе функции полностью удовлетворяют условию теоремы 3.

Составим якобиан:

, т.е. теорема справедлива в окрестности любой точки , тогда

y и z выразятся однозначно через х.

Найдем частные производные :

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями связи.

Из условия (мы по условию рассматриваем только такие точки)

.

Гладкая поверхность. Касательная плоскость.

Рассмотрим сначала случай, когда множество задается явно: , где . А – открытое множество. Если функция имеет непрерывные и на множестве А, то множество точек , задает гладкую поверхность.

Теперь рассмотрим функцию, заданную неявно. Пусть у нас есть функция и уравнение . По всему сказанному выше, если у нас , то z можно выразить через х и y, но может случиться так, что , но , тогда можно выразить y. Тогда общее условие запишем в следующем виде. Пусть f имеет непрерывные частные производные , все они непрерывны на и , т.е. все частные производные не обращаются в ноль одновременно. Тогда в окрестности этой точки функция задает гладкую поверхность.

Построим касательную плоскость к этой поверхности.

Пусть у нас есть поверхность , задаваемая уравнением , точка , такая что

, тогда это равенство выполняется и в некоторой окрестности точки , т.к. частные производные у нас непрерывны. Тогда в этой окрестности полностью выполняется условие теоремы 1 из предыдущего пункта для какой-то переменной. Раз сумма квадратов частных производных , значит какая-то из этих частных производных точно . Предположим, что (далее мы покажем, что на самом деле все равно, какая из частных производных ). Тогда в окрестности этой точки у нас получится явное выражение: поверхность будет задаваться уравнением (по Теореме 1). Запишем уравнение касательной плоскости, которое для явно заданных функций мы уже выводили:

.

Теперь по той же теореме: , . Тогда подставив эти выражение в формулу для касательной плоскости, получим: . Тогда . Т.е. получили, что градиент перпендикулярен касательной плоскости.

Пример:

Построим касательную плоскость к поверхности (шару) в точке . в этой точке = 0. Однако заметим, что если бы при выводе уравнения касательной плоскости у нас не , а или , то конечная формула бы не изменилась. Итак, воспользуемся уже полученной формулой:

, , получаем, что

- касательная плоскость.