2 семестр МПиТК / 2-й семестр / Лекции Соколова / 2_9

Экстремумы функций многих переменных.

Локальный (абсолютный) экстремум.

Пусть функция F определена на некоторой области .

Определение:

называется точкой локального максимума, если .

Определение:

называется точкой локального минимума, если .

Пусть , где - координатный вектор i-го направления,

в случае максимума получаем: .

Теперь рассмотрим - функцию одной переменной:

, максимум этой функции достигается при .

Необходимым условием существования точки максимума для функции одной переменной является равенство нулю первой производной, значит , а - производная по направлению .

Таким образом, необходимое условие существования экстремума – равенство нулю всех частных производных, по всем направлениям, при условии их существования.

Необходимое условие экстремума: если в некоторой точке существуют частные производные, и эта точка – точка экстремума, то все частные производные равны нулю.

Исследование функции на экстремум мы начинаем с нахождения тех точек, в которых частная производная равна нулю, но это будет только необходимое условие экстремума, надо еще вывести достаточное условие экстремума, то есть проверить, действительно ли в этой точке у нас экстремум, подозрительные точки мы найдем.

Пусть функция f имеет непрерывные частные производные второго порядка в точке , тогда для произвольной точки можно записать разложение нашей функции по формуле Тейлора. Первые производные по необходимому признаку равны нулю.

Обозначим и рассмотрим квадратичную форму: - квадратичная форма, где - переменные. Наша форма будет симметричной, а значит и квадратичной, как раз потому, что у нас вторые производные непрерывны.

1. если форма строго положительно определена, т.е. , то - точка минимума.

2. если форма строго отрицательно определена, т.е. , то - точка максимума.

3. если форма не определена, т.е. и , то экстремума нет.

4. если форма положительно или отрицательно полуопределена, т.е. , то ничего сказать нельзя, нужно дополнительное исследование.

Доказательство:

Обозначим в качестве. Рассмотрим вектор с координатами

Возвращаясь к формуле Тейлора, получим:

Обозначим как функцию , тогда эта функция очевидно является непрерывной, т.к. частные производные у нас непрерывны, и нам нужно рассмотреть эту функцию Ф на единичной сфере, т.к. . Единичная сфера является замкнутым ограниченным множеством, а потому функция Ф достигает там своего наибольшего и наименьшего значения.

1. Пусть Ф положительно определена, тогда значит и , тогда мы можем подобрать такое , чтобы оно было больше чем , т.е. мы можем сделать всю скобку , т.е. сделать . , значит - точка минимума.

2. В этом случае форма отрицательна определена:

. Тогда эта квадратичная форма точно также достигает своего максимума и этот максимум меньше нуля:

И точно также мы берем таким маленьким, что , тогда

. Получается, что

. И тогда в точке - максимум.

3. Форма неопределена.

То есть найдется такое , что и найдется такое , что .

Рассуждая аналогично, мы получим, что в любой окрестности найдется такая точка , что

То есть на любом луче у нас найдутся значения больше и меньше, значит - не экстремум.

4. Ничего сказать нельзя.

У нас найдется такая точка, то квадратичная форма равна нулю. .

Если мы теперь возьмем этот луч, приближаясь к точке , то есть все вектора, параллельные вектору, то есть возьмем вектора вида .

По свойству квадратичной формы у нас получится в силу линейности, что

.

То есть в любой окрестности точки найдутся такие точки , что

, мы не знаем, какого знака . Она может быть как положительна, так и отрицательна.

Но каждый раз определять знак квадратичной формы неудобно, поэтому введем

Критерий Сильвестра.

Рассмотрим квадратичную форму- вполне определенные числа. Ее можно записать в виде матрицы:

. Эта матрица будет симметричной, потому что у нас по условию вторые частные производные непрерывны, то есть смешанные производные равны между собой. Тогда рассмотрим главные миноры этой матрицы

,

.

1. Если , то есть все главные миноры положительны, то форма положительно определена.

2. Если - отрицательно определена.

3. , , то форма положительно полуопределена. Единственное, что можно сказать, что нет максимума.

, , форма отрицательно полуопределена, нет минимума.

4. Во всех остальных случаях форма никакая и экстремума нет.

В случае двух переменных определители можно не писать, потому что условие экстремума записывается довольно легко.

Пусть .

Тогда

Пример 1. .

Так как это многочлен, то у него существуют все частные производные какого угодно порядка, то есть единственные точки, которые могут быть подозрительными на экстремум, это те, в которых первые частные производные равны нулю.

;.

Исследуем дальше, найдем вторые частные производные.

;

Берем точку. Тогда для нее . То есть

- экстремума нет.

Берем точку , тогда ,

-экстремум, причем минимум. Значит у этой функции единственная точка экстремума - . Точка - критическая, но не экстремум.

Пример 2.

Рассмотрим не все точки, а только :

- ничего сказать нельзя.

Рассмотрим сечение графика этой функции плоскостью . Мы получим

Рассмотрим функцию

,

Как видим, в точке 0 наблюдается максимум, а в точках - минимумы.

Если мы рассмотрим сечение плоскостью , то в точке у нас будет минимум.

Получается, что в любой окрестности точки есть значения больше 1 и меньше 1, значит это не экстремум.

Если бы нам удалось повыделять какие-то части с полными квадратами, то это был бы экстремум.

Пример 3. .