Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.

Теорема 1:

Если функции интегрируемы наи

Доказательство:

выполняется неравенство , тогда. Так как интегралы по условию существуют, по теореме о предельном переходе под знаком неравенства,. Теорема доказана.

Следствие:

Если - интегрируема на, то, по доказанному выше,- интегрируем на данном отрезке; тогда

Доказательство:

Известно неравенство: ; по данной теореме

; из самого правого интеграла минус можно вынести; получим:

. Следствие доказано.

Теорема 2: (о среднем)

Пусть интегрируемы на, причемна данном промежутке, тогда

, где ,

и

Замечание: sup и inf существуют, т.к. функция на данном промежутке интегрируема, а значит ограничена.

Доказательство:

Запишем неравенство: и домножим его на:

; тогда по теореме о неравенствах это неравенство сохранится и в интегралах:

()

Если , то и интеграли неравенство () выполняется.

Если , тогда по теореме о неравенствах, значит можно неравенство () на него разделить:

и принимаем за . Теорема доказана.

Следствие:

Если непрерывна наи выполняется условие теоремы, то

Доказательство:

Т.к. непрерывна на, то она достигает своегоmax и min значения, а в силу непрерывности sup=max, inf=min; значит - по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции. Следствие доказано.

Следствие к следствию:

Если непрерывна на, то

Доказательство:

Возьмем , тогда (по следствию). Следствие доказано.

Геометрический смысл этого следствия:

Если считать площадь криволинейной трапеции, то найдется такая точка , что площадь этой криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника с высотой.

Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим функцию , интегрируемую на отрезке. По аддитивному свойству интеграла:

, можно найти отрезок на котором представляется возможным рассмотреть функцию.

Теорема:

Если функция интегрируема на отрезке, тонепрерывна на отрезке.

Доказательство:

Рассмотрим функцию ,

, где ,,, где

Теорема доказана.

Теорема:

Пусть функция интегрируема на отрезке, непрерывна в точке, тогда функциядифференцируема в точкеи.

Доказательство:

,

, , т.е.

.

Теорема доказана.

Следствие:

Если функция непрерывна на отрезке, то, т.е.- первообразная.

,

Функция непрерывна в точке,;, гденепрерывна на отрезке. Заключаем, что.

Т.е. любая непрерывная функция имеет первообразную.

Теорема доказана.

Формула Ньютона-Лейбница:

Функция непрерывна на отрезке, тогда она имеет первообразную. Пусть- её произвольная первообразная. Тогда.

Доказательство:

Функция непрерывна на отрезке,- первообразная функции,

, ,

.

Теорема доказана.

9