Лекция 16

Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.

Определение: Пусть множество и A – ограничено. Рассмотрим множество (объединение прямоугольников), такое что , и множество , такое что , и назовем и фигурами. Площади этих фигур и можно посчитать. Т.к. множество оганичено сверху (S(A)). Аналогично ограничено снизу (нулем) . Если , то это площадь A, а множество называется квадрируемым.

Пример1: Пусть τ – отрезок и . Ø. При этом S(M΄)=0 и . Пусть длина отрезка равна d, тогда , а длины d и высоты h. Тогда . Получили S(τ)=0.

Пример2: . , Ø и , т.к. никакой прямоугольник полностью не лежит в этом множестве. , т.е. , поэтому . Получаем, что , поэтому множество A - не квадрируемое.

Пусть f(x)≥0 на [a,b]. Криволинейная трапеция T - множество (x,y), такое что a≤x≤b и 0≤y≤f(x).

Теорема: (О площади криволинейной трапеции).

Пусть функция f(x)≥0 на [a,b]. Криволинейная трапеция T квадрируема тогда и только тогда(), когда функция f(x) интегрируема на [a,b]. При этом площадь T равна: .

Доказательство: : По основной теореме . Найдутся такие и , что и . Тогда .

: , так как криволинейная трапеция T квадрируема. Тогда Обе интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу (S). , . Следовательно , поэтому функция f(x) интегрируема (из следствия основной теоремы).

Пример. x²+y²=R². a≤x≤b (a=-R, b=R), и 0≤y≤. При этом

Замечание к определению площади: Множества можно заменить на любые другие квадрируемые множества. Если - фигуры, - квадрируемые множества, т.е. существуют площади и при этом , то при получим все то же самое.

Пусть множество задано в полярных координатах: x=r·cost, y=r·sint. Рассмотрим множество A, такое, что α≤t≤β и 0≤r≤r(t). Введем разбиение угла [α,β]: α=t₀<t₁<t₂<…<t_n=β. При этом Δt_i=[t_i ,t_i+1]. Рассмотрим сектора окружностей r_i=m_i – это будут сектора и r_i=M_i – это будут сектора . и . Окружности (с углом 2π) соответствует площадь πR², а сектору с углом α – площадь αR²/2. Поэтому и . и - нижняя и верхняя суммы Дарбý для функции f=r²/2. Получим и . То есть площадь S(A) существует и равна S (т.е. A квадрируема) тогда и только тогда, когда существует интеграл .

Определение объёма. Объем тела вращения.

.Тогда пусть , фигуры, которые удовлетворяют условию: ; .

Тогда внешний объем равен: , а внутренний: .

Если , то множество - кубируемое.

Лемма: (объем цилиндра)

- множество точек плоскости, удовлетворяющих условию и , то - цилиндр. Его объем равен: . Так как - квадрируемое множество, то: . Значит ;

, соответственно . Значит объем цилиндра равен .

Теперь непосредственно рассмотрим вращение произвольное тело вращения.

Пусть - есть произвольная непрерывная функция, причем на отрезке . Будем вращать данную кривую на отрезке вокруг оси . Получим тело вращения .

Разобьем отрезок : . Пусть ,. Рассмотрим два цилиндра и (см. рис. ) , . Теперь пусть

и . Нетрудно видеть , что

и . Это означает, что если функция интегрируема на отрезке , то и . При вращении вокруг оси формула примет вид .

Пример: Рассмотрим вычисление объема тела вращения на примере шара:

. Значит объем шара равен: .

Длина дуги кривой. Определение и вычисление.

Пусть Г есть гладкая кривая определенная функциями , , имеющими на [a,b] непрерывные производные. Введем разбиение и составим сумму ,

представляющую собой длину ломаной, вписанной в Г с вершинами в точках, соответствующих значениям .

Имеем тогда (

В первом равенстве цепи мы воспользовались теоремой о среднем.

Чтобы обосновать, что , введем вспомогательную функцию

очевидно непрерывную на кубе Модуль ее непрерывности на обозначим через . Так как расстояние между точками ( не превышает , то и потому .

Мы доказали, что длина гладкой кривой существует и выражается формулой

(1)

При замене переменной при помощи непрерывно дифференцируемой функции получим, очевидно,

где что показывает инвариантность определения длина дуги.

Если кривая (плоская) задана уравнением где имеет непрерывную производную на [a,b], то, очевидно, ее длина дуги выражается формулой

(надо положить в формуле (1) t=x, y=f(x), z=0).

Пример 1: