Курсовые / Статистика носителей в пп p-типа

Процесс образования свободных носителей заряда в полупроводнике называется генерацией.

Понятие дырки.

При переходе электрона из валентной зоны в зону проводимости (собственная генерация) возможна проводимость как в той, так и в другой зоне.

Если электрон находиться у дна зоны проводимости, то его эффективная масса положительна:

(16)

и он ведет себя как обычная частица с положительной массой и отрицательным зарядом, то есть ускоряется в направлении, противоположном электрическому полю. Поскольку зона проводимости по определению не заполнена полностью, изменение состояния электрона приводит к появлению электрического тока, причем в кристалле этот ток переменный, а в реальном – постоянный.

Ситуация у потолка валентной зоны совершенно иная. Для возникновения проводимости необходимо удалить из этой зоны хотя бы один электрон (например, из состояния ). Образовавшееся вакантное место позволяет остальным электронам перемещаться по зоне, создавая электрический ток. Всоответствии с формулой (17):

(17)

этот ток равен по величине и противоположен по направлению току, который создавался бы одним электроном в состоянии .

В нормальных условиях вакантное состояние с наибольшей вероятностью находится у потолка валентной зоны. При этом эффективная масса электрона, переходящего в это состояние, отрицательна:

(18)

Влияние потенциального поля кристалла оказывается преобладающим и электрон должен двигаться в направлении внешнего электрического поля.

Закон его движения можно записать в виде:

(19).

Из этого уравнения следует, что ускорение электрона определяется выражением:

(20)

В этом выражении заряд и эффективная масса электрона входят только в виде отношения. Это позволяет избавиться от отрицательной массы путем замены движения электронас массой перемещением квазичастицы с положительной массой и положительным зарядом e. Такая частица называется ДЫРКОЙ.

Поведение дырки аналогично всплыванию пузырька воздуха в жидкости. При этом реально перемещаются частицы жидкости, опускающиеся вниз под действием силы тяжести и вытесняющие воздух. В то же время для наблюдателя весь сложный процесс перемещения частиц жидкости над пузырьком выглядит как движение самого пузырька вверх.

Перемещение дырки представляет собой результат коллективного перемещения валентных электронов с энергиями, лежащими у потолка валентной зоны, которому в k-пространстве соответствует максимум функции E(k). Поскольку обычно кривизна графика функции E(k) в окрестности максимума меньше, чем в окрестности вышележащего минимума, то в соответствии с формулой

(21)

э ффективная масса свободной дырки в валентной зоне больше эффективной массы свободного электрона в зоне проводимости.

Д ырка.

Причины возникновения проводимости в акцепторном полупроводнике (р-типа).

В любом самом чистом полупроводнике всегда существуют примеси.

Если введенная примесь имеет валентность три, то при замещении четырехвалентного атома полупроводника она сразу образует одну незаполненную связь, которая играет роль дырки.

При температуре Т=0 дырка является связанной, хотя энергия связи все же ослаблена за счет диэлектрических свойств кристалла (поляризация) и, как и в случае донорной примеси, значительно меньше ширины запрщенной зоны.

При повышении температуры соседние валентные электроны получают возможность перейти в область дырки и восстановить незаполненную связь, в результате чего дырка перемещается по кристаллу. Появлению свободной дырки соответствует переход электрона из валентной зоны на уровень акцепторной примеси . При дальнейшем повышении температуры увеличивается вероятность перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости, то есть возникает собственная проводимость.

Принцип определения концентрации носителей заряда.

Для получения реальной картины поведения элуктронов в кристалле необходимо знать их распределение по энергетическим уровням. Для этого должны быть известны границы ( и ) и структура i-ой разрешенной энергитической зоны, то есть зависимость плотности квантовых состояний (с учетом спина) для электронов от их энергии, а также функция распределения электронов по этим квантовым состояниям f(E,T), то есть вероятность того, что электрон имеет определенную энергию. При этом в соответствии с определением понятия функции распределения концентрация электронов определяется выраженим:

(22).

Если известна функция f(E,T) распределения электронов по состояниям, то для полного описания заполнения энергетических зон достаточно указать величину вероятности заполнения некоторого уровня на зонной энергетической диаграмме.

Плотность состояний.

1. на каждом уровне могут находиться два электрона (принцип Паули);

2) кристалл находиться в термодинамическом равновесии и вероятность заполнения уровней зависит только от энергии Е и температуры Т.

Зависиомсть Е(р) описываться изотропным параболическим законом:

(23),

где - граница i-ой зоны, от которой отсчитыватся энергия электронов в зоне Это справедливо толко для областей, близких к экстремумам зон. В этих областях и лежат значения энергии свободных носителей, которые учавствуют в проводимости.

В соответствии с формулами (13) и (14) объем в зоне Бриллюэна, приходящийся на одно энергетическое состояние (в котором могут находиться два электрона), составляет:

(24),

где L – размер кристалла по осям координат; - объем кристалла.

Из выражения (24) следует, что число квантовых состояний с учетом спина в объеме зоны Бриллюэна, приходящееся на соответствующий интервал энергий dE и на единицу объема кристалла, есть:

(25),

где - плотность квантовых состояний, то есть количество квантовых состояний в i-ой разрешенной зоне на единицу интервала энергий в единичном объеме кристалла.

Для расчетов удобно в качестве элемент объема в пространстве квазиимпульсов между двумя изоэнергетическими поверхностями. В соответствии с условием (23) эти поверхности являются сферами и представляет собой объем шарового слоя:

(26),

причем из (23) следует, что

(27)

и

(28).

Из соотношений (25 – 28) получаються выражения для объема шарового слоя плотности квантовых состояний в зоне проводимости:

(29),

(30).

Аналогично определяеться плотность квантовых состояний в валентной зоне:

(31).

Из формул (30) и (31) следует, что плотность состояний меньше в той зоне, в которой распологаются носители с меньшей эффективной массой.

Эффективная масса плотности состояний.

Соотношения (26 – 31) получены при условии изотропной параболической зависимости E(p) (23). В случае анизотропной зависимости эффективные массы электрона различны для разных направлений квазиимпульса и изоэнергетические поверхности имеют форму эллипсоидов:

,

а объем слоя составляет:

(32).

Выражение (32) совпадает с выражением (29) при условии:

.

Величина называется эффективной массой плотности состояний.

Функция распределения.

Электроны и дырки как частицы с полуцелым спином подчиняются статистике Ферми-Дирака:

(33),

где F – уровень Ферми; E – энергия электрона; Т – абсолютная температура. Из формулы (33) понятно, что F есть уровень энергии, вероятность заполнения которого равна ½.

1

½

0

F E

Функция распределения Ферми-Дирака при Т=0 ( ) и при Т>0 ( )

При температуре Т=0 функция распределения имеет вид ступеньки. При этом уровень Ферми определяет границу заполнения разрешенных состояний электронами, так как для Е<F вероятность заполнения равна 1, а для E>F она равна 0. В металлах, где уровень Ферми лежит в разрешенной зоне, он просто являеться самым верхним заполненным уровнем.

При температуре T>0 ступенька размывается. При этом все графики для всех температур проходят через точку, соответствующую уровню Ферми.

Если уровень Ферми лежит в заполненной зоне и удален от границы разрешенной зоны ( или ) больше, чем на 2…3 kT, то и распределение (33) переходит в распределение Максвелла-Больцмана:

(34)

В этом случае говорят, что электронный газ не вырожден.

В противном случае, когда уровень Ферми расположен близко от границы соответствующей расзрешающей зоны, электронный газ описывается распределением Ферми-Дирака и считается выродженным.

Концентрация электронов и дырок в зонах

В соответствии с формулой (22) концентрация электронов в зоне проводимости определяется следующим выражением

.

При вычислении интеграла ограничимся случаем невырожденного полупроводника.

Будем считать энергию от дна зоны проводимости (=0). Кроме того, верхний предел интеграла заменим на , так как функция f(E,T) резко убывает при E > F.

Тогда

или

, (35)

где

(36)

эффективная плотность состояний в зоне проводимости. Она обозначает плотность эквивалентных состояний с одинаковой энергией , обеспечивающий ту же концентрацию, что и реальная плотность состояний с различной энергиией.

Аналогично для дырок в валетной зоне:

(37),

где

(38)

эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Закон действующих масс.

Найдем произведение концентраций свободных носителей:

.

Видно, что это произведение не зависит от положения уровня Ферми, то есть от типа и степени легирования полупроводника. Если обозначить через концентрацию свободных носителей в собственном полупроводнике, то

. (38.1)

Таким образом, концентрации носителей заряяда в полупроводнике однозначно определяются структурой энергетических зон, положением уровня Ферми и температурой кристалла.

Электронейтральность полупроводника.

В станционарном состоянии все заряды внутри полупроводника уравновешены. Для полупроводника, содержащего два типа примеси, справедливо условие:

(39),

где - конценрация оинизированных доноров, то есть атомов примеси, потерявших электрон, что и описывается функцией ; - концентрация ионизированных акцепторов, то есть атомов примеси, получивших дополнительный электрон; и - концентрации донорной и акцепторной примеси.

Используя выражение (33), можно получить:

;

,

где и - уровни энергии донорной и акцепторной примеси соответственно; и - степени вырождения эти уровней с учетом спина. Введем обозначения:

(40)

и

(41),

получим:

(42);

(43).

Решение уравнения электронейтральности полупроводника (39) совместно с выражениями (35), (37) и (40 – 43) позволяет определить положение уровня Ферми и концентрации носителей в полупроводнике.

Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике.

В собственном невырожденном полупроводнике уравнение электронейтральности имеет вид:

.

Из этого уравнения можно определить положение уровня Ферми:

(44),

где и - уровень Ферми и середина запрещенной зоны в собственном полупроводнике.

Как следует из выражения (44), при температуре Т=0 уровень Ферми лежит в середине запрещенной зоны. С ростом температуры он линейно смещается в сторону той зоны, которая имеет меньшую плотность состояний, то есть заполняется быстрее. Эта зона в соответствии с формулами (30) и (31) содержит носители с меньшей эффективной массой.

Положение уровня Ферми в акцепторном полупроводнике.

Для акцепторного полупроводника справедливы условия и . При достаточно низкой температуре собственной проводимостью можно пренебречь. Тогда уравнение электронейтральности принимает вид:

или .

Решаем это уравнения:

,

далее путем преобразований приходим к виду:

.

Решеним квадратного уравнения является:

.

Так же, решая уравнение находим:

.

Историческая справка.

Хотя полупроводники как особый класс материалов были известны ещё к концу 19 в., только развитие квантовой теории позволило понять особенности диэлектриков, полупроводников и металлов (Уилсон, США, 1931). Задолго до этого были обнаружены такие важные свойства полупроводников, как выпрямление тока на контакте металл — полупроводник, фотопроводимость и др. и построены первые приборы на их основе. О. В. Лосев доказал возможность использования полупроводниковых контактов для усиления и генерации колебаний — кристаллические детекторы. Однако в последующие годы кристаллические детекторы были вытеснены электронными лампами и лишь в начале 50-х гг. с открытием транзисторного эффекта (Бардин, Браттейн, Шокли, США, 1948) началось широкое использование полупроводников (главным образом Ge и Si) в радиоэлектронике. Одновременно началось интенсивное изучение физики полупроводников, чему способствовали успехи, достигнутые в технологии очистки кристаллов и их легирования. Интерес к оптическим свойствам полупроводников возрос в связи с открытием вынужденного излучения в GaAs (Д. Н. Наследов, А. А. Рогачёв, С. М. Рывкин, Б. В. Царенков, СССР, 1962), что привело к созданию полупроводниковых лазеров вначале на р—n-переходе [Холл (США) и Б. М. Вул, А. П. Шотов и др. (СССР)], а затем на гетеропереходах (Ж. И. Алферов и др.).

Широкие исследования полупроводников в СССР были начаты ещё в конце 20-х гг. под руководством А. Ф. Иоффе в Физико-техническом институте АН СССР. Многие из основных теоретических понятий физики полупроводников впервые сформулировали Я. И. Френкель, И. Е. Тамм, Б. И. Давыдов, Е. Ф. Гросс, В. А. Жузе, В. Е. Лашкарев, В. М. Тучкевич и др. Они же внесли значительный вклад в изучение полупроводников и их техническое применение.

Список используемой литературы.

Физика полупроводников и полупроводниковых приборов. Физика полупроводников. В.А.Братов. Под редакцией профессора В.И.Старосельского. Москва 1995г.

Большая советская энциклопедия в 30 томах. 1977г.

Физика полупроводников. Ю.А.Парменов. Москва 2002г.

Физика твердого тела. К.А.Валиев. Н.К.Ракова. Москва 1985г.

24