Техносферная безопасность / Akimov - Katastrofi i bezopasnost 2006

Глава 3

относят к запроектным, и только ничтожный процент — к гипотетическим авариям, которые, скорее всего, не произойдут. О таких авариях говорят, что если они

имогут случаться, то не чаще одного раза в тысячу или в сто тысяч лет.

Ктакой гипотетической аварии относилась, например, авария, произошедшая на Чернобыльской АЭС. Вероятность ее возникновения считалась равной десять в минус седьмой степени. Такими авариями обычно пренебрегают, считая их практически невозможными. Однако чернобыльская авария произошла. В жизни произошло то, что было почти невероятным.

С целью выхода из такого положения, предпринимаются попытки разработки специальных методов оценки частоты редких событий (имеются в виду аварии с тяжелыми последствиями) по статистике за предшествующие годы [9]. Статистический метод, обычно используемый для оценки повторяемости чрезвычайных ситуаций того или иного вида, основан на анализе данных за определенный (как можно больший) промежуток времени. Существенный недостаток здесь состоит в том, что крупные аварии и катастрофы находятся «на хвосте» распределения чрезвычайных ситуаций по размеру ущерба. Их частота чрезвычайно мала. Следовательно, существует очень большая статистическая неопределенность прогноза. Относительные погрешности вероятности событий, относящихся к «хвостам» распределений, могут составлять сотни процентов [9].

Предложенный в работе В.А. Акимова и др. [9] методический аппарат для снижения статистической неопределенности катастроф, основанный на учете тенденций изменения числа катастроф и распределения их по ущербу, нельзя признать выходом из положения. Все равно здесь сохраняется базовый подход к оценке возможности возникновения катастроф, который основывается на классической теории.

Не является выходом из положения и использование метода экспертных оценок, а также учет возможных вариантов одновременного возникновения нескольких причин выхода из строя жизненно важных элементов потенциально опасного объекта.

Лишь теория катастроф, учитывающая, что в сложной системе с многочисленными связями элементов включается новый фактор — нелинейная динамика системы (система приобретает синергетический характер), способна объяснить возможность антиинтуитивного поведения системы. Эта теория способна дать объяснение тому, что источники катастроф лежат не только в ошибках операторов или ненадежности отдельных элементов, а в основе самих сложных технологий, включающих множество взаимосвязанных элементов. Возможность возникновения катастроф — это не свойство отдельных частей системы, а свойство целого. Такая система способна порождать очень сложные зависимости конечного состояния от начального ее состояния.

Катастрофаможетпроизойтииз-замалогоотклоненияилимелкойполомки,когда возникают начальные условия, которые никаким образом не были предусмотрены.

Современная теория катастроф возникла на основе теории особенностей гладких отображений, сформулированной в 1955г. американским математиком

Хасслером Уитни, и теории бифуркации динамических систем, заложенной еще в 1879 г. В диссертации Анри Пуанкаре (французского математика, физика и философа, иностранного члена Петербургской академии наук), и развитой А.А. Александровым, российским физиком, академиком АН СССР, основателем научной школы по теории нелинейных колебаний и ее приложениям [1].

41

Раздел I

Следует заметить, что параллельно с теорией катастроф возникла и развивалась более широкая по охвату происходящих в нелинейных динамических системах процессов — синергетическая теория, которая по праву сейчас называется наукой. Своего рода экскурс в основы этой науки нами уже сделан.

Не вдаваясь в подробности и математические аспекты теории катастроф, коснемся первой части ее фундаментальных основ — теории особенностей, которая является важным обобщением исследований функций на экстремум. В теории Уитни функции заменены отображениями поверхности на плоскость, выражающимися наборами нескольких функций нескольких переменных. Предметом его исследований являлись гладкие отображения, представляющие гладкие функции, т.е. функции, дифференцируемые достаточное число раз, например, многочлены.

Заметим, что большинство окружающих нас тел являются ограниченно гладкими поверхностями. Видимые контуры этих тел — есть проекции ограничивающих тела поверхностей на плоскость.

Уитни отметил некоторые особенности отображений гладких функций на плоскость, теория которых оказалась весьма плодотворной. При проектировании гладкой функции на фазовую плоскость, на ней получается след неправильной формы в виде геометрического узора, соответствующего «диаграмме» катастроф. Эти геометрические узоры в теории особенностей имеют названия: «складка» (при одной фазовой координате и одном управляемом параметре); «сборка» (при одной фазовой координате и двух управляющих параметрах); «ласточкин хвост» (при трех управляющих параметрах) и другие. Первые две особенности, исходя из их геометрической интерпретации, названы «складкой Уитни» и «сборкой Уитни» соответственно.

Не касаясь теории Уитни, ее экспериментальной проверки и других аспектов теории особенностей, следует отметить, что в настоящее время она переживает бурное развитие, в ней перекрещиваются пути, связывающие дифференциальную геометрию и топологию, теорию групп, коммутативную алгебру, теорию комплексных пространств, другие математические теории с теорией устойчивости динамических систем, с теорией бифуркаций положения равновесия.

Из всего многообразия возможных направлений применения теории особенностей для примера отметим следующие.

Пусть изучаемый процесс функционирования системы описывается при помощи некоторого числа управляющих и внутренних параметров. Состояния равновесия процесса образуют поверхность того или иного числа измерений в фазовом пространстве. Проекция поверхности равновесий на плоскость управляющих параметров может иметь особенности, которые в теории катастроф, как указывалось выше, называются «складкой Уитни» (особенность первого вида) и «сборкой Уитни» (вторая особенность). В таком случае с помощью теории особенностей представляется возможным предсказать геометрию катастроф, т.е. перескоков системы из одного состояния равновесия в другое при изменении управляющих параметров.

Рассмотрим вторую составляющую той научной базы, на основе которой сформировалась и развивается теория катастроф — теорию бифуркации. Слово «бифуркация» означает раздвоение и в научной литературе употребляется для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз в развитии процессов при изменении параметров, от которых они зависят, когда происходит нарушение единственного состояния равновесия и ветвление эволюционных путей. Не лишним будет заметить, что понятие «бифуркация» является одним из стержневых понятий, используемых в синергетике.

42

Глава 3

По мнению Н.Н. Моисеева [19], в случае классических динамических систем бифуркация — это такое состояние системы, когда, потеряв устойчивость, она полностью теряет память и ее последующая эволюция оказывается принципиально непредсказуемой, поскольку определяется только теми случайными факторами, которые действуют на систему в момент бифуркации.

Конечно, здесь идет речь не в полном смысле о состоянии системы. По сути, качественная перестройка в развитии системы — это быстротечный катастрофический процесс перехода системы в новый канал эволюционного развития. Необходимо заметить, что переходу системы через катастрофическое состояние предшествует постепенное обострение ситуации. В процессе бифуркации возникает качественно новое состояние системы.

Механизм бифуркации относится к одному из важнейших механизмов самоорганизации сложных систем. Бифуркационный процесс имеет универсальный характер. Механизм бифуркации является источником возникновения и развития различных форм организации материи.

Если система имеет сложную структуру, то ее постбифуркационное развитие является далеко не однозначным. Одна часть системы после точки бифуркации может развиваться по одному пути, другая — вдоль другого пути. При этом генетические связи разрушаются и системы становятся независимыми.

Вточках бифуркации, т.е. в критических пороговых точках, поведение системы становится неустойчивым, и система может эволюционировать в одном из нескольких альтернативных направлений. И важно отметить, что только вероятностным методом, а не детерминированным можно предсказать, какой именно путь изберет система. Простейшая точка бифуркации соответствует ситуации, когда некогда устойчивое состояние системы становится неустойчивым и симметрично возникают два других возможных устойчивых состояния. При этом существует один шанс из двух возможных найти систему в том или другом из ее двух новых возможных состояний.

Одним из наиболее удивительных результатов исследований в области теории катастроф является открытие необычайного разнообразия ситуаций, возникающих вдали от равновесия [1]. При уходе системы от состояния равновесия она может пройти через несколько зон неустойчивости, и в каждой из них поведение системы качественно изменяется.

Вматематической трактовке эволюционный процесс может быть представлен векторным полем в фазовом пространстве. Любая точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения состояния. Те точки, в которых вектор обращается в нуль, соответствуют положениям равновесия.

Под развитием динамической системы понимают ее переход из одного состояния в другое, т.е. соответствующее перемещение фазовой точки в пространстве.

Чтобы фазовую точку постоянно удерживать на оптимальной траектории, на нее нужно должным образом воздействовать, т.е. управлять фазовыми координатами с помощью соответствующих параметров. Такое поведение или динамика системы описывается математически, как правило, системой нелинейных дифференциальных уравнений.

Кривые в фазовом пространстве, образованные точками последовательных состояний системы, называют «фазовыми кривыми». Типичные варианты поведения

43

Раздел I

фазовых кривых (фазовые портреты) в окрестности точки равновесия приведены на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия

Фазовый портрет дает возможность выявить наиболее важные (критические) значения параметров системы, которые делают ее неустойчивой, т.е. бифуркационные точки. Именно в этих точках фазового пространства система скачком меняет свое положение в ответ на медленное (плавное) изменение внешних условий. Как уже отмечалось, этот скачок носит название — катастрофы.

Исходя из изложенных представлений, попытаемся составить и рассмотреть схему практического применения теории катастроф для анализа поведения некой системы, являющейся определенным опасным в техногенном отношении элементом техносферы. При этом прибегнем к аналогии и воспользуемся идеей, реализованной в подобном примере из совершенно иной сферы, связанной с военной деятельностью [10]. Такого рода шаг является наглядным примером применимости теории катастроф в самых различных, казалось бы, не имеющих ничего общего, областях человеческой деятельности.

Пусть функционирование системы описывается некой системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно первых производных, т.е. скоростей фазовых координат. Допустим, что поведение системы характеризуется уровнем ее безопасности во всех точках фазового пространства, т.е. в фазовых координатах может быть выражена некая функция безопасности или риска. Для определенности пусть это будет риск возникновения техногенной катастрофы.

Эта обобщенная функция должна быть гладкой, т.е. дифференцируемой в пространстве фазовых координат (например, иметь вид многочлена). На рис. 1.7 представлена некая геометрическая интерпретация этой функции, позволяющая видеть возможные ее характерные участки и критические точки.

Если представить себе передвижение стального шарика по этой кривой, то естественно предположить, что в точках максимума шарик попадает в неустойчивое положение. Единственными точками равновесия будут критические точки функции, соответствующие ее минимумам, где потенциальная энергия шарика минимальна. При проектировании гладкой функции риска на горизонтальную фазовую плоскость получается кривая определенной формы, соответствующей «диаграмме катастроф».

Согласно теории, развитой Рене Томом, для динамических систем, описываемых гладкими функциями и содержащих не более четырех управляющих параметров (о которых будет сказано далее), существует семь типов «диаграмм катастроф». Характеристика этих диаграмм приведена в табл. 1.9.

44

Диаграмма катастроф прогнозирует те точки своего рода ландшафта функции риска, в которых происходит катастрофа. В них стальной шарик резко, скачком, переходит из одного состояния равновесия в другое (из точки максимума в точку минимума).

Пользуясь диаграммой катастроф, можно выбрать иную траекторию движения воображаемого шарика, а следовательно, и путь развития рассматриваемой динамической системы. Имеется в виду эволюционный путь развития динамической системы, который в нашем примере соответствует другому маршруту шарика, когда он плавно, без скачков, переходит в новое состояние равновесия.

Вполне понятно, что такого рода движение шарика, а следовательно, безопасное развитие динамической системы, являющейся элементом техносферы, происходит не само по себе, а под действием некоторых управляющих параметров.

Рис. 1.7. Функция риска

45

Раздел I

Основываясь на этих представлениях, можно полагать, что теория катастроф позволяет прогнозировать не только, какой путь развития (эволюционный или скачкообразный) изберет в тех или иных условиях, определяемых действием управляющих параметров, опасная в техногенном отношении динамическая система, но и как именно он будет осуществляться, т.е. по какой фазовой траектории пойдет развитие системы.

Теория катастроф обладает определенными эвристическими возможностями, которые могут быть проиллюстрированы на следующем примере той же опасной в техногенном отношении системы, являющейся элементом техносферы.

Пусть эта система, находясь в состоянии нормального, по своим параметрам, функционирования, находится на грани перехода в аварийное (точнее говоря, катастрофическое) состояние. Схематически это может быть представлено соответствующей топологической структурой в фазовом пространстве в виде складки (рис. 1.8.).

Рис. 1.8. Топологическая структура перехода системы в катастрофическое состояние

Здесь точками а1 и а2 обозначено равновесное состояние системы в ее нормальном безаварийном состоянии.

Пусть в точке а1 возможно изменение числа откликов системы на внешние воздействия, т.е. эта точка является точкой бифуркации. Тогда становится возможным скачкообразный переход системы в новое состояние, геометрически обозначенное на верхней части складки, т.е. катастрофа на техногенно опасном объекте техносферы.

46

Глава 3

Точка а2 не отличается изменением числа откликов системы на внешние воздействия. Переход системы из точки в положение, находящееся на верхней части складки, происходит эволюционным путем, без какого-либо скачка. Однако это положение характеризуется такими же значениями параметров состояния системы, к которым она приходит скачкообразным, катастрофическим путем.

Анализ геометрии рассматриваемой поверхности отклика (складки) дает возможность прийти к весьма интересному для практики управления техногенной безопасностью выводу, если воспользоваться определенной аналогией из области теории магнетизма.

Оказывается, что в поведении системы, рассматриваемого с помощью поверхности отображения типа складки, наблюдается явление гистерезиса ( рис. 1.9.).

Рис. 1.9. Гистерезис в поведении системы

Основываясь на свойстве гистерезиса, состоящем в том, что для намагничивания бруска железа требуется напряженность внешнего магнитного поля, меньшая, чем для того, чтобы вернуть брусок железа в исходное (немагнитное) состояние, т.е. Н1 < Н2, можно сделать следующий вывод.

Для вывода техногенного объекта из катастрофического состояния требуется приложить энергии намного больше, чем ее выделяется при катастрофическом скачке.

Современные представления о синергетическом управлении сложными системами

При исследовании и определении путей развития систем безопасности необходимо всестороннее изучение самоорганизующих свойств этих систем и влияния внешнего воздействия, т.е. управляющих сигналов на процессы самоорганизации.

47

Раздел I

Следует заметить, что изучение и учет свойств социально-экономических систем, обуславливающих их способность к самоорганизации и саморазвитию, в настоящее время является одной из насущных задач экономического развития.

От анализа сущности и свойств синергетических систем в настоящее время все настойчивее пробивается и находит свою дорогу мысль о синергетическом управлении сложными системами [15].

Всоответствии с современными взглядами, отличительной и всеми хорошо понимаемойособенностьюсинергетикиявляетсястихийнаясамоорганизациясистем.Глубокий смысл возникающих при этой самоорганизации согласованных кооперативных процессов лежит во внутренних причинах самой непредсказуемой самоорганизации.

Внастоящее время сделан новый принципиальный шаг в понимании сущности

процессов самоуправления в синергетике, и предпринимаются серьезные попытки

вовладении искусством управления синергетическими системами, обеспечения перехода от непредсказуемого перехода системы по алгоритму диссипативной структуры к направленному движению вдоль желаемых инвариантных многообразий — аттракторов, к которым подстраиваются все другие переменные динамической системы, т.е. перехода к целевому способу самоорганизации синергетических систем.

Всвязи с оценкой такого рода возможностей Н.Н. Моисеев говорил: «Процесс самоорганизации идет по пути непрерывного усложнения алгоритмов развития, от естественных, т.е. стихийных, к алгоритмам, устроенным более сложно…. Все законы мира естественного сохраняют свою силу в мире искусственном, ибо он порожден процессами самоорганизации, развития природы. Но теперь на действие этих процессов накладывается могучий пресс разума, накладываются новые принципы отбора, превращающие чисто стихийное развитие в направляемое».

Вцелевом способе самоорганизации нелинейных диссипативных систем реализуется тенденция перехода от классических методов кибернетики к современным методам синергетики.

Всинергетике получил существенное развитие системно-кибернетический подход. Вместе с тем необходимо иметь в виду, что между кибернетикой и синергетикой имеется важное методологическое отличие: кибернетика главным образом опирается на формализованный абстрактно-математический подход, в то время как

всферу синергетики входит изучение физических основ формирования структур. Для кибернетики главным понятием является информация, для синергетики — механизмы самоорганизации систем. Гомеостатические процессы, приводящие

к простым аттракторам, в кибернетике являются основным предметом изучения.

Всинергетике же это частный случай из ее обширной области исследования.

Всинергетике целью эволюции систем являются аттракторы При этом базовыми понятиями синергетической теории управления являются: инварианты; самоорганизация; нелинейность; когерентность и каскадный синтез. Они определяют сущность, новизну и содержание новой теории управления.

Отметим некоторые положения, имеющие важное значение в теории синергетического управления системами [15].

Всинергетических системах в процессе самоорганизациии образования диссипативных структур (аттракторов) происходит уменьшение степеней свободы путем выделения лишь нескольких координат, к которым подстраиваются остальные координаты системы. Происходящая при этом динамическая декомпозиция фазового пространства и приводит к выделению указанных выше нескольких координат (переменных), называемых в синергетике «параметрами порядка».

48

Глава 3

В процессе самоорганизации образуются аттракторы, к которым, образно говоря, притягиваются траектории системы. При этом происходит «забывание» начальных условий, определяющих начало траектории движения к аттрактору. Причина здесь в том, что аттракторы всегда имеют меньшую размерность, чем размерность исходной системы. В результате такого «забывания» возникает инвариантность решений нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы.

Области притяжения аттракторов характеризуются определенными границами. Что очень важно, малейшее изменение начальных условий, находящихся вблизи границы области притяжения того или иного аттрактора, может привести к качественно новому поведению нелинейной системы вдали от ее положения равновесия. По мнению А.А. Колесникова [15], такое свойство, связанное с процессом самоорганизации в диссипативных системах, открывает определенные возможности в решении задач управления нелинейными динамическими объектами. В развитой им теории синергетический подход к аналитическому конструированию систем управления нелинейными динамическими объектами опирается на идею введения притягивающих инвариантных многообразий — аттракторов, на которых наилучшим образом согласуются энергетические, механические, тепловые и другие свойства и требования задачи управления. Считается, что такие аттракторы формируют внутрисистемные динамические связи, в результате чего в фазовом пространстве системы возникает когерентное коллективное движение.

Принципы и методы синергетической теории управления, формируемой А.А. Колесниковым [15], основываются на идее направленной самоорганизации и управляемой динамической декомпозиции задач синтеза нелинейных многомерных систем, а также синергетической концепции системного синтеза, опирающейся на фундаментальное свойство направленной самоорганизации нелинейных систем.

Для иллюстрации подхода к синергетическому управлению сложными системами рассмотрим постановку задачи направленной самооорганизации и системного анализа.

Пусть поведение определенной, опасной в техногенном отношении, системы, являющейся объектом техносферы, описывается следующими дифференциальными уравнениями:

i = 1,2,...,r; j = r +1,r + 2,...,n; m ≤ n − r.

В этом случае рассматриваемая система может быть разбита на две подсистемы: подсистему, поведение которой отражается «кинематическими» уравнениями (1.1), в которых отсутствуют функции, обозначающие обратные связи; подсистему, поведение которой описывается «динамическими уравнениями» (1.2). В уравнениях (1.2) уже содержатся некоторые функции u1,…,um, выражающие обратные связи. Эти связи носят управленческий характер. Они могут быть названы «функциями управления».

49

Раздел I

Функции управления, исходя из характера системы и тех задач, которые она должна решать, задаются в процессе синтеза рассматриваемой системы управления.

Таким образом, часть системы, являющейся по существу объектом управления, задана, а другая ее часть подлежит созданию с использованием современных интеллектуальных, и иных возможностей человека. Речь идет о построении искусственной синергетической системы, обладающей в той или иной мере свойствами самоорганизации. При этом ставится задача теоретического синтезирования и практического создания такой системы, когда с помощью обратных связей, т.е. управляющих функций, будут формироваться искусственные энергетические, технологические, организационно-технические, экологические и другие аттракторы, которые совместно с естественными аттракторами системы смогут осуществлять направленные процессы самоорганизации рассматриваемой системы.

Энтропийная теория возникновения катастроф (информационный подход к оценке состояния и развития систем)

Информационный подход, основывающийся на представлениях о том, что информация — это мера порядка, мера сложности системы, характеристика ее внутреннего разнообразия, мера вероятностного выбора одной из возможных траекторий развития того или иного процесса, открывает совершенно новые возможности для оценки устойчивости рассматриваемой системы безопасности, а также определения необходимых внешних воздействий для сохранения ее устойчивости при изменении ситуации.

Как известно, в качестве количественной меры беспорядка в системе принято использовать величину ее энтропии, а степень упорядоченности характеризовать величиной негэнтропии.

Любая из социально-экономических систем, когда в ней не происходит необратимых деградационных процессов, стремится повысить и оптимизировать эффективность своей деятельности в интересах достижения той или иной цели, в данном случае — обеспечения требуемого уровня безопасности. Эта оптимизация осуществляется в первую очередь силами самой системы в процессе ее самоорганизации. Иногда это происходит за счет внешних сил, иногда — за счет тех и других сил. Эти соображения в полной мере согласуются с теорией системной оптимизации, развитой в работе И.В. Прангишвили, В.Н. Буркова, И.А. Горгидзе и др. [26].

Под системной оптимизацией в данном случае понимается процесс повышения эффективности системы, представляемый в виде трех этапов, реализация которых происходит благодаря управленческой деятельности человека. Первый этап включает разработку концепции развития (совершенствования) системы, с учетом вновь выявленных проявлений, объективно существующих и действующих системных законов и закономерностей, а также изменившихся условий и появления новых ориентиров и возможностей по обеспечению безопасности, второй — определение оптимальных структуры и параметров системы, задающих область возможных траекторий ее развития, на третьем этапе выбирается конкретная траектория развития системы. На втором и третьем этапах предполагается широкое применение методов оптимизации. Вначале целесообразно применение методов структурной оптимизации, затем (при выборе конкретной траектории развития) — методов оптимизации процесса управления.

50