МП-1 / Практ. по алгебре / Практикум по алгебре в среде MATLAB_Жаркова / ржавинская лекции / Лекция_7

Действительно, пусть

.

Если , то по определению 6 имеет диагональную форму.

Если , то, переставляя строки и столбцы, можно добиться того, что . Умножим все элементы первой строки на :

.

Первую строку, умноженную на , прибавим ко второй, умноженную на - к третьей,…, умноженную на - к -й. Таким образом, получим матрицу

.

Первый столбец, умноженный на , прибавим ко второму,..., умноженный на - к -му, получим

.

С матрицей, оставшейся в правом нижнем углу, совершим аналогичные преобразования. После конечного числа шагов придем к матрице диагонального вида.

Пример 6. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Решение. Договоримся об обозначениях. Запись будет означать, что матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований. При этом -ю строку исходной матрицы обозначим , а -ю строку преобразованной матрицы - . Для -х столбцов будем использовать соответственно обозначения , .

Матрица приобрела диагональную форму, .

Упражнение. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований:

.

106