Скачиваний:
54
Добавлен:
12.05.2017
Размер:
1.16 Mб
Скачать

Алгебраические свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Для любого .

Доказательство свойства 1.

Обозначим , . Нам нужно доказать, что справедливо равенство между векторами:

В соответствии с определением, данным в лекции 1, нужно убедиться, что и направления и совпадают.

Из определения 5 получаем

.

По определению 5 , и , , следовательно, и оба перпендикулярны плоскости , определяемой векторами и , следовательно, и коллинеарны.

Пусть , и приведены к одному началу. Так как они составляют правую тройку, в соответствии с определением 3 с конца вектора кратчайший поворот от к кажется совершающимся против хода часовой стрелки. Тогда для любого вектора, расположенного по ту же сторону от , что и вектор , кратчайший поворот от к кажется совершающимся по ходу часовой стрелки, следовательно, вектор расположен по другую сторону от плоскости . Учитывая уже установленную коллинеарность и , получаем .

Свойство 2 примем без доказательства.

Доказательство свойства 3. Обозначим , .

Случай 1. . Тогда (так как ), при этом , следовательно, .

Случай 2. .

а) Векторы и коллинеарны. Тогда по теореме 4 и ; коллинеарен (как произведение вектора на число), следовательно, коллинеарен , и по теореме 4 , значит, .

б) Векторы и не коллинеарны. Пусть . Тогда

.

Имеем , следовательно, коллинеарен . С другой стороны, , поэтому коллинеарен . Таким образом, и коллинеарны.

Так как , а , то направление совпадает с направлением вектора .

Направление совпадает с направлением , а , следовательно, направление совпадает с направлением .

Итак, и коллинеарны и направления их совпадают, т.е. и свойство 3 в этом случае справедливо.

Пусть . Тогда

.

Имеем и коллинеарен . С другой стороны и коллинеарен вектору . Таким образом, и коллинеарны (и коллинеарны вектору ).

Вектор в соответствии с определениями 5 и 3 направлен таким образом, что с конца кратчайший поворот от к кажется совершающимся против хода часовой стрелки, тогда (), с конца кратчайший поворот от к кажется совершающимся по ходу часовой стрелки, следовательно, векторы и имеют противоположное направление.

Вектор , равный , тоже имеет направление, противоположное направлению , таким образом, и направлены одинаково.

Учитывая доказанное ранее равенство и коллинеарность и , заключаем, что , – свойство 3 справедливо и в этом случае.

Доказательство свойства 4.

Так как любой вектор коллинеарен сам себе, то свойство 4, т.е. равенство , следует из теоремы 4.

Замечание. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:

). ;

). .

В самом деле, докажем, например, :

.

Аналогично обосновывается .

Доказанные алгебраические свойства дают возможность, перемножая векторно линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.

Теорема 5. Пусть ,, – декартов базис, , . Тогда .

Доказательство. Имеем

. (2.6)

Найдем всевозможные векторные произведения базисных векторов.

В силу свойства 4 .

Так как базис ,, декартов и длина каждого базисного вектора равна единице, каждое из оставшихся шести векторных произведений либо вектор базиса, либо противоположный ему. Векторы базиса образуют правую тройку, поэтому

, , , (2.7)

а, привлекая свойство 1 и используя (2.7), получаем

, , ,

Подставляя эти соотношения в (2.6), приходим к равенству

или

. (2.8)

Следствие. Пусть ,, – декартов базис, , . Векторы и коллинеарны в том и только том случае, когда .

Действительно, и коллинеарны в том и только том случае (см. теорему 4), когда . Учитывая теорему 5, получаем: и коллинеарны в том и только том случае, когда

, , ,

или

, , , (2.9)

или

, , ,

или

. (2.10)

Замечание. Чтобы обойти трудность с равенством нулю знаменателя в (2.10), договоримся в том случае, когда – координаты некоторых векторов и , понимать равенство (2.10) как три равенства (2.9).

Соседние файлы в папке ржавинская лекции