3.3. Каноническое и параметрические уравнения прямой

Определение 4. Пусть – декартова система координат,- произвольная прямая. Любой вектортакой, что,параллелен, называется направляющим вектором прямой(рис. 3.3).

Пусть ,– направляющий вектор прямой. Тогда

коллинеарен

(3.11)

(соответствующие координаты векторов ипропорциональны).

Уравнение (3.11) называется каноническим уравнением прямой , проходящей через точкуи имеющей направляющим вектор.

Обозначим отношение в (3.11) через :. Тогда уравнение (3.11) приведет к двум равенствам

(3.12)

Так как , то хотя бы одно из чиселилиотлично от нуля. Пусть для определенности. Тогда прии, таким образом,.

Равенства (3.12) при называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точкуи имеющей в качестве направляющего вектор.

Пример 2. Составить каноническое уравнение прямой , проходящей через две заданные точкии.

В качестве направляющего возьмем вектор (рис. 3.4). Воспользуемся уравнением (3.11), полагая, и получим

. (3.13).

Пример 3. Составить каноническое уравнение прямой , проходящей черези((рис. 3.5).

Воспользуемся уравнением (3.13), полученным в примере 2, считая ,:, или

. (3.14)

Уравнение (3.14) называется уравнением прямой в отрезках.

3.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Определение 5. Пусть – декартова система координат,не параллельна осии пересекает ее в точке (рис. 3.6). Выберем на оси точку, расположенную по ту сторону откуда направлена ось. Навыберем точку, расположенную на прямойпо ту сторону от, куда направлена ось . Уголназывается углом наклона прямойк оси. Числоназывается угловым коэффициентом прямой(еслипараллельна оси, то; если, т.е.параллельна, тоне определен).

Упражнение. Доказать следующее утверждение: пусть не параллельна оси,– угловой коэффициент,– направляющий вектор прямой, тогда.

Пример 4. Пусть ,– угловой коэффициент прямой. Составить уравнение прямой.

Воспользуемся каноническим уравнением (3.11):

, или , или, или,

или . (3.15)

Уравнение (3.15) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (в уравнении (3.15) – угловой коэффициент прямой (см. упражнение), а– ордината точки пересечения прямой с осью).

Итак, положение прямой на плоскости полностью определяется заданием:

1. точки и, перпендикулярного прямой(нормального вектора);

2. точки и вектора, параллельного прямой(направляющего вектора);

3. точки и углового коэффициента.

3.5. Угол между двумя прямыми

Две прямые и, пересекаясь, образуют два угла, дополняющие друг друга до. Любой из этих углов будем считатьуглом между прямыми ии обозначать далее.

Утверждение 1. Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями

: и:.

Тогда

. (3.16)

В самом деле, один из углов между иравен углу между нормальными векторами и (рис.3.7). (Углы, отмеченные двумя дугами, равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами.)

Итак, , отсюда

,

и формула (3.16) верна.

Отметим частные случаи:

1) (условие коллинеарности и ) (рис. 3.8);

2) (рис. 3.9).

Утверждение 2. Пусть прямые изаданы своими каноническими уравнениями

: и:.

Тогда

. (3.17)

Действительно, один из углов между прямыми иравен углу между направляющими векторамии(на рис. 3.10 отмечены одной дугой).

Итак, ,,, поэтому

,

и равенство (3.17) справедливо.

Частные случаи:

1) иколлинеарны(рис. 3.11);

2) (рис. 3.12).

Утверждение 3. Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями

: и:.

Тогда

. (3.18)

Если– углы наклона к осипрямыхисоответственно, то(на Рис. 3.13 двумя дугами отмечены уголи равный ему как соответственный при параллельных прямыхии секущей). Поэтому

и равенство (3.18) верно.

Замечание. Отметим, что в формулу (3.18) числа ивходят не симметрично:- с «–»,- с «+». Но если изменить знак дроби в (3.18), получим тангенс смежного угла, который мы тоже считаем углом междуи.

Частные случаи:

1) ;

2) не определенили.