Задачи для самостоятельного решения

1. Даны векторы Вычислить: а)б)в)

Ответ: а)б)в)

2. Найти вектор если известно, что он перпендикулярен векторамидлина вектораравнаи векторыобразуют правую тройку. Ответ:

3. Найти высоту треугольникаеслиОтвет:

4. Площадь параллелограмма, построенного на векторах иравнаНайти площадь параллелограмма, построенного на векторахиОтвет:

5. Вычислить Ответ:

6. Известно, что НайтиОтвет:

7. Вычислить угол между ненулевыми векторами иеслиОтвет:

8. Найти все векторы, перпендикулярные векторам иОтвет:

9. –единичные векторы, образующие правую тройку и составляющие друг с другом углы в Выразить векторчерез векторыОтвет:

10. Вычислить еслиОтвет:

11. При каких векторывзятые в указанном порядке, образуют правую тройку? Ответ:

12. Вычислить Ответ: 5.

13. Найти высоту пирамидыеслиОтвет:

14. Объём параллелепипеда равенНайти объём пирамидыгде– середины рёбериОтвет:

15. Объём пирамиды равенНайти объём пирамидыгдесередины рёберОтвет:

16. Доказать тождества: а)

б) (тождество Якоби).

2. Вычислить еслииОтвет:

§ 2. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве

Перечислим ряд типовых задач на прямые и плоскости в пространстве, которые необходимо научиться решать студенту, изучающему аналитическую геометрию.

1. Составлять уравнение плоскости, проходящей: через три заданные точки, через прямую и точку, через две пересекающиеся прямые, через две параллельные прямые.

2. Составлять уравнение прямой, проходящей через две данные точки, являющейся линией пересечения двух данных плоскостей.

3. Составлять уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости, перпендикулярно данной прямой, через две точки параллельно данной прямой, через точку параллельно двум прямым.

4. Составлять уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой, перпендикулярно заданной плоскости.

5. Находить точку пересечения прямой и плоскости, двух данных пересекающихся прямых.

6. Выяснять взаимное расположение двух прямых, двух прямых, двух плоскостей, трёх плоскостей, прямой и плоскости.

7. Находить расстояние между двумя точками, между двумя параллельными прямыми или плоскостями, от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми.

8. Проектировать точку на прямую, на плоскость, прямую на плоскость.

9. Находить точку, симметричную данной точке относительно данной точки, данной прямой, данной плоскости.

10. Составлять уравнение прямой (или плоскости), симметричной данной прямой (соотв., плоскости) относительно данной точки, данной прямой, данной плоскости.

11. Находить углы между двумя прямыми, двумя плоскостями, прямой и плоскостью.

12. Использовать понятие отклонения для определения, “с какой стороны” от прямой или плоскости находится точка.

Уравнения плоскостей и прямых в пространстве

Н

ормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Пусть – нормальный вектор плоскостии– фиксированная точка плоскости(см. рис. 1).

Рис.1.

Точка пространства принадлежит плоскоститогда и только тогда, когдаа значит,

(1)

(векторное уравнение плоскости). Из уравнения (1) ввиду того, что мы получаем уравнение плоскости в виде

(2)

или

(3)

где

Для того, чтобы составить уравнение плоскости, обычно находят её нормальный вектор и какую-нибудь точку. После этого записывают уравнение в виде (2). Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получают уравнение в виде (3).

Если известны длины отрезков, отсекаемых плоскостью от осей координат, то уравнение плоскости пишется сразу:

(4)

(уравнение плоскости “в отрезках”).

Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой. Пусть – направляющий вектор прямойи– фиксированная точка прямой (см. рис. 2).

Рис.2.

Точка пространства принадлежит прямойтогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны, а значит, для некотороговыполняется равенство

(5)

(векторное уравнение прямой). Подставив в (5) координаты векторов и точек, получим уравнение прямой в виде

(6)

(каноническое уравнение прямой) или в виде

() (7)

(параметрические уравнения прямой).

Решим вначале несколько задач на уравнение плоскости.

Задача 1. Даны точки иСоставить уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно отрезку

Решение. В качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор а в качестве точки плоскости – точкуПодставив в (2), получим:или

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и

Решение. Вычислим векторы иНормальный вектор плоскости перпендикулярен этим векторам, поэтому можно взять в качестве нормального вектора их векторное произведение. Имеем:

Взяв в качестве любую из данных точек, например,и подставив в (2), получим:или

Задача 3. Найти угол между плоскостями и

Решение. Угол между плоскостями – это угол между их нормальными векторами. Нормальные векторы найдём из уравнений плоскостей: Следовательно,

Таким образом,

Задача 4. Через точку провести плоскость, параллельную плоскости

Решение. Нормальный вектор данной плоскости будет годиться и для параллельной плоскости. Подставив в формулу (2)получим:или

Задача 5. Составить уравнение плоскости, симметричной плоскости относительно точки

Решение (см. рис. 3). Очевидно, искомая плоскость параллельна плоскости

Рис.3.

Возьмём какую-нибудь точку плоскости например,Тогдаа значит,Пусть– начало координат. Имеем:Следовательно,В качестве нормального вектора плоскостиможно взять нормальный вектор плоскостит.е.Подставив выбранные значения в формулу (2), получим уравнение плоскостиили

Задача 6. Составить уравнение плоскости, симметричной плоскости относительно оси ординат.

Решение. Точка, симметричная точке – этоПоэтому уравнение искомой плоскости мы получим, заменивинаит.е.или

Разберём теперь решения задач на уравнение прямой.

Задача 7. Составить уравнение прямой параллельной прямойи проходящей через точку

Решение. Направляющий вектор для прямой можно взять тот же, что ут.е.Взяви подставив выбранные значения в уравнение (6), получим:

Задача 8. Составить уравнение прямой, симметричной прямой относительно точки

Решение (см. рис. 4).

Рис.4.

Из уравнения прямой находим какую-нибудь точку прямойнапример,Если– точка, симметричная точкеотносительнотопоэтомуи аналогичноСледовательно,Подставив в (4), получим:

Рассмотрим теперь смешанные задачи на плоскость и прямую в пространстве.

Задача 9. Спроектировать точку на прямую

Решение (см. рис. 5).

Рис.5.

Если мы проведём через точку плоскостьперпендикулярную прямойто точка пересеченияпрямойи плоскостии будет проекциейнаВозьмём уравнение прямойи обозначим дроби буквойПолучим:Отсюда получаем параметрические уравнения прямой

(8)

Составим теперь уравнение плоскости Так как прямая и плоскость перпендикулярны, то в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой, т.е.Отсюда по формуле (2) получаем уравнение плоскостиилиПодставим в это уравнение формулы (8), получим:Подставляя это значение в формулы (8), получим координаты точкит.е.

Задача 10. Составить уравнение медианы треугольникаесли

Решение. Учащихся не должно смущать то обстоятельство, что треугольник задан в четырёхмерном пространстве. Позже в курсе линейной алгебры будут изучаться произвольные п-мерные пространства для любого натурального и даже бесконечномерные пространства. Уравнения прямых вп-мерном пространстве – такие же, как в трёхмерном.

Найдём середину отрезка

В качестве направляющего вектора медианы можно взять векторно лучше взять векторчтобы координаты были целыми числами:Взяв в качестветочкуполучим уравнение медианы

Задача 11. Найти точку, симметричную точке относительно плоскости

Решение (см. рис. 6).

Рис.6.

Составим уравнение прямой проходящей черезперпендикулярно плоскостиНаправляющим вектором прямойможет служить нормальный вектор плоскостиТеперь можно написать параметрические уравнения прямойПодставим эти выражения в уравнение плоскостиОтсюдаМы нашли значение параметра для точкит.е.У точкизначение параметраравно 0, следовательно, точкасимметричная точкеотносительнобудет иметь значение параметра, в 2 раза большее, чемт.е.Подставивв уравнение прямойполучим:Таким образом,

Задача 12. Прямая задана как пересечение плоскостейиНаписать каноническое уравнение этой прямой.

Решение (см. рис. 7).

Рис.7.

Пусть Из уравнений плоскостейинайдём их нормальные векторы:Так как прямаяперпендикулярна векторамито в качестве направляющего векторапрямойможно взять их векторное произведение. Таким образом,

Найдём какую-либо точку прямой Для этого решим систему

(точнее, найдём какую-нибудь тройку чисел удовлетворяющее этой системе). Выразимиз второго уравнения:подставим эти выражения в первое уравнение:

Возьмём тогдаотсюдаТеперь напишем уравнение искомой прямой:

Нуль в знаменателе первой дроби означает, что у всех точек прямой абсцисса

Задача 13. Составить уравнение высоты треугольникаесли

Решение (см. рис. 8).

Рис.8.

Нормальный вектор плоскостиможно найти, перемножив векторыиДалее, имеем:Отсюда

Направляющий вектор прямойдолжен быть перпендикулярен векторамипоэтому можно взять

Так как найден направляющий вектор прямой и известна точка этой прямой (точка), то можно написать уравнение

Задача 14. Определить, при каком прямыеипересекаются, и для найденного значениясоставить уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.

Решение. Из уравнений прямых находим их направляющие векторы: Возьмём на этих прямых по одной точке:ОтсюдаТак как координаты векторовинепропорциональны, то векторыинеколлинеарны, поэтому прямыеибудут пересекаться в том и только том случае, если векторыибудут компланарны. Используя условие компланарности, получим:

Таким образом, откуда

Пусть Тогда прямые пересекаются и через них можно провести плоскость. Обозначим эту плоскость черезНаправляющий векторплоскостиможно получить как векторное произведение векторови

Взяв в уравнении (2) в качестве точкуполучим уравнение плоскостиили

Перед решением следующей задачи сделаем одно замечание. Пусть даны плоскость и прямаяЕсли– угол между прямойи плоскостьюа– угол между нормальным векторомплоскостии направляющим векторомпрямойто

(9)

(см. рис. 9).

Рис.9.

Задача 15. В кубе точка– середина ребраНайти угол между прямойи плоскостью

Решение (см. рис. 10).

Рис.10.

Мы можем считать, что ребро куба равно 1. Введём систему координат с началом как показано на рисунке. Запишем уравнение плоскостипо формуле (4), как уравнение плоскости “в отрезках”:

Следовательно, нормальный вектор этой плоскости равен Направляющий вектор прямойравенВвиду равенства (9) искомый уголбудет найден, если мы найдём угол между векторамииТаким образом,

Следовательно,