МП-1 / Коллоквиум 1 поток / Новая папка / 20 Приведение к каноническому виду уравнения кривой 2-го порядка. Классификация кривых 2-го порядка

20. Приведение к каноническому вид уравнения кривой 2-го порядка. Классификация кривых 2-го порядка.

Стандартное уравнение кривой 2-го порядка имеет следующий вид:

a11x^2+2a12xy+a22y^2+2a13x+2a23y+a33=0

приведение к каноническому виду уравнение кривой 2-го порядка – это и есть каноничекое уравнение эллипса,гиперболы или параболы.

Пример: Привести к каноническому виду ур-ие прямой 2-го порядка:

9x^2+25y^2-54x+50y-41=0

9(x^2-6x+9)+25(y^2+2y+1)-81-25-41=0

9(x-3)^2+25(y+1)^2-147=0 | Делим все на 147 и полуаем

(x-3)^2/(147/9)+(y+1)^2/(147/25)=1

т.е. мы получили каноническое уравнение эллипса.

но когда мы имеем в условиях задачи директрису, то у нас получается новая повернутая система координат. Необходимо нарисовать весь рисунок и определить угол поворота.

Допустим наш угол A= 45 градусов.

формулы поворота: x=x’cos(A)-y’sin(A); y=x’sin(A)+y’cos(A);

обратные формулы имеют вид: x’=xcos(A)+ysin(A); y’=-xsin(A)+ycos(A)

допустим мы имеем каноническое уравнение эллипса следующего вида:

x^2/4+y^2/2=1 - в старой системе координат.

в новой системе координат : x’^2/4+y’^2/2=1. x’,y’ указывают нам на новую систему координат.

подставляем обратные формулы поворота, учитываем значение угла и получаем:

(sqrt(2)*x/2+sqrt(2)*y/2)^2)/4+(sqrt(2)*y/2-sqrt(2)*x/2)^2/2=1 | умножаем все на 4:

(sqrt(2)*x/2+sqrt(2)*y/2)^2) +2*(sqrt(2)*y/2-sqrt(2)*x/2)^2=4 | Раскрываем скобочки и получаем: 1.5x^2+1.5y^2-xy=4. Что и требовалось получить. Мы привели к каноническому виду уравнение прямой 2-го порядка.

Классификация кривых 2-го порядка.

Значок похожий на б, называется дельта. Соответственно:1 тип – когда дельта>0 т.е. x^2/2+y^2/4=1 - эллипс

дельта <0 x^2/2+y^2/4=1 – гипербола

дельта = 0 y^2=2px - парабола.

№	Название линии	Признаки		Наличие центра
		типа	класса
1	эллипс			точка
2	мнимый эллипс
3	точка
4	гипербола
5	2 пересекающиеся прямые
6	Парабола			центра нет
7	2 параллельные. прямые		, ,	бесконечно много центров
8	2 мнимые параллельные прямые		, ,
9	2 совпадающие прямые		, ,