МП-1 / Коллоквиум 1 поток / Новая папка / 4 ок. . Уравнение прямой на плоскости

Билет №4. Уравнение прямой на плоскости.

n

M00

M

Общее уравнение прямой

L

n=(A,B) – нормальный вектор прямой (любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой), A и B не равны 0 одновременно.

M0(x0,y0) – точка, принадлежащая прямой

M(x,y) – произвольная точка

Возьмем M принадлежащую L

Если M принадлежит L, то

• Вектор M0M перпендикулярен n (т.к. M0 принадлежит L и n перпендикулярен L)

• Скалярное произведение n и M0M = 0, т.к. cos(<угол между векторами>)=0

Координаты M0M=(x-x0;y-y0)

Скалярное произведение векторов – сумма произведения их координат:

n*M0M=A(x-x0)+B(y-y0)=0

Ax+By-Ax0-By0=0

Обозначим –(Ax0+By0) = С

Ax+By+С =0 общее уравнение прямой на плоскости

Каноническое и параметрическое уравнение прямой

q=(q1;q2) – направляющий вектор прямой (вектор, || или совпадающий с прямой)

При М принадлежит L вектор M0M || вектору q

Возьмем некий коэффициент t.Тогда вектор M0M=qt

M0M=(x-x0;y-y0) qt=(q1*t;q2*t)

(x-x0;y-y0) = (q1*t;q2*t)

x=x0+q1*t Параметрическое уравнение прямой y=y0+q2*t

Выразим t и приравняем первое и второе уравнение системы

Каноническое уравнение прямой

q

A

M

α

β

Уравнение прямой с угловым коэффицαиентом

L

Пусть L пересекает OX в точке A

N

M лежит справа от A по направлению возрастания OX M лежит справа сверху от A по направлению возрастания OY

M принадлежит OX, N принадлежит L

Угол наклона L к OX = α q=(q1;q2) – направляющий вектор L

Β – угол наклона q к OX

tg(α)=k, k – угловой коэфф. L

Докажем, что k=q2/q1

q1=|q|*cos(β) q2=|q|*sin(β)

q1/ cos(β)=q2/ sin(β) q2/q1= sin(β)/ cos(β)

Т.к. q || L, tg(α)= tg(β),

k=q2/q1 Доказано

Умножим обе части канонического уравнения прямой на q2, получим

(q2/q1)*(x-x0)=y-y0

Зная, что q2/q1=k, получим

y-y0=k*(x-x0) Уравнение прямой с угловым коэффициентом