МП-1 / Коллоквиум 1 поток / Новая папка / 12.Уравнение прямой в пространстве каноническое, параметрическое

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка  лежит на прямой а и  - направляющий вектор прямой а.

Очевидно, что множество точек  трехмерного пространства определяет прямую атогда и только тогда, когда векторы  и  коллинеарны.

апишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  и  в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора  нам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора  - они равны разности соответствующих координат точек  и , то есть,  (при необходимости смотрите нахождение координат вектора по координатам точек). Теперь записываем условие коллинеарности векторов  и : , где  - произвольное действительное число (при точки  и  совпадают, что нас тоже устраивает).

Если , то каждое уравнение системы  можно разрешить относительно параметра  и приравнять правые части:

Полученные уравнения вида  в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения  есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz. Их также называют уравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.