МП-1 / Коллоквиум 1 поток / Новая папка / 8ок Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение

Двойным векторным произведением векторов a, b и c называется вектор, равный произведению [a, [b, c]]

Свойства:

Формула Лагранжа: [a, [b, c]]=b(a,c)-c(a, b)

Доказательство

Выберем для векторов a, b и c ортонормированный базис e1 e2 e3, так чтобы

a=α1e1+α2e2+α3e3 В координатной форме a{α1,α2,α3}

b=β1e1+β2e2 b{β1,β2,0}

c=γ1e1 c{γ1, 0, 0} Тогда [b, c]=(0,0,-β2γ1), а [a, [b, c]]=(-α2β2γ1,-α1β2γ1,0)

и b(a,c)-c(a, b)=α1γ1*b-(α1β1+α2β2)c=(-α2β2γ1,-α1β2γ1,0)

отсюда следует равенство [a, [b, c]]=b(a,c)-c(a, b)

Extended: Тождество Якоби [a, b, c]+[b, c, a]+[c, a, b]=0

Доказательство:

Основываясь на формуле Лагранжа раскроем скобки

[a, b, c]+[b, c, a]+[c, a, b]= b(a,c)-c(a, b)+c(b, a)-a(b, c)+a(c, b)-b(c, a)=0