Определение определителя порядка n, его свойства.

Определение 1.Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Определение 2.Определителем порядка , соответствующим матрице (6.1), называется алгебраическая сумма членов, составленная следующим образом: членами определителя служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком "+", если множество вторых индексов является четной перестановкой чисел , и со знаком "–", если нечетной.

Замечание.Определение 2 дляиприводит к уже знакомым нам определителям 2-го и 3-го порядка:

Свойства определителя порядка п:

1. (определитель не меняется при транспонировании вокруг главной диагонали).

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, определитель равен нулю.

3. От перестановки двух строк определитель меняет лишь знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на число , определитель умножится на.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы -й строки определителя представлены в виде суммы, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме-й, такие же, как в исходном определителе, а-я строка в одном определителе состоит из, а в другом - из.

Определение 3.-я строка определителя называется линейной комбинацией остальных его строк, если такие, что, умножая -ю строку на, а затем складывая все строки, кроме -й, получаем -ю строку.

8. Если одна из строк определителя является линейной комбинацией остальных его строк, определитель равен нулю.

9. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число.

Замечание.Мы сформулировали свойства определителя для строк. В силу свойства 1 () они справедливы и для столбцов.

Определение 4.Алгебраическим дополнением элементаопределителяназывается его минор, умноженный на , где - номер строки, - номер столбца, в которых расположен выбранный элемент .

Теорема 1 (о разложении по строке).Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

Замечание.Можно вначале упростить определитель, воспользовавшись свойством 9, а затем использовать теорему 1. Тогда вычисление определителя порядкасведется к вычислениювсего одногоопределителя порядка.

Сложение матриц и умножение матрицы на число, свойства этих операций.

Определение 5.Две матрицы , , , и , , , будем называть равными, если .

Определение 6.Суммой двух матриц , , , и , , , называется такая матрица , , , что .

Определение 7.Произведением матрицы , , , на вещественное число называется такая матрица, , , для которой .

Свойства операций сложения матриц

и умножения на число:

1. Сложение коммутативно: .

2. Сложение ассоциативно:.

3. Существует нулевая матрица , удовлетворяющая условиюдля всехА.

4. Для любой матрицы Асуществует противоположная матрицаВ, удовлетворяющая условию.

Для любых матриц А иВи любых действительных чиселимеют место равенства:

5. .

6. .

7. .

8. .

Умножение матриц, свойства умножения (доказать ассоциативность).

Определение 8. Произведением матрицы , , , на матрицу , , , называется матрица , , , с элементами .

Замечание 1.Число элементов в строке матрицыравно числу элементов в столбце матрицы(число столбцов матрицыравно числу строк матрицы).

Замечание 2.В матрицестрок столько же, сколько в матрице, а столбцов столько же, сколько в.

Замечание 3. Вообще говоря,(умножение матриц некоммутативно).

Чтобы обосновать замечание 3, достаточно привести хотя бы один пример.

Свойства умножения матриц:

1. Умножение дистрибутивно:

, .

2. Умножение ассоциативно: .

Теорема 2.Для любых двух квадратных матриц и

.

Обратная матрица, существование и единственность.

Утверждение 1.Матрица - единственная матрица, обладающая свойством (7.1).

Определение 1.Пусть - произвольная квадратная матрица. Матрицаназывается правой обратной для, если . Матрицаназывается левой обратной для, если .

Определение 2.Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если , и невырожденной (неособенной), если .

Утверждение 2.Вырожденная матрица не имеет ни правой, ни левой обратной.

Утверждение 3. Пусть - произвольный определитель порядка. Сумма произведений всех элементов любого столбца(строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.

Утверждение 4. Матрица - единственная обратная для.