Лекция 16

§ 3.11. Реализация булевых функций с помощью схем из функциональных элементов

Схема из функциональных элементов. Входы, функциональные элементы, выходы схемы. Сложность схемы. Глубина вершины. Функции, реализуемые в вершинах схемы. Функции, реализуемые схемой. Проблема анализа и проблема синтеза схем.

Схемой из функциональных элементов в базисе называют ориентированный граф без циклов, удовлетворяющий следующим условиям.

1. Все вершины этого графа разбиваются на три подмножества (, при ) так, что:

а) в каждую вершину из не входит ни одной дуги;

б) в каждую вершину из входит по одной дуге;

в) в каждую вершину из входит по две дуги.

2. Каждая вершина из помечена некоторой переменной, причем разные вершины помечены разными переменными.

3. Каждая вершина из помечена связкой .

4. Каждая вершина из помечена одной из связок и .

5. Выделено некоторое подмножество () вершин.

Вершины из называются входами схемы. Если вершина из помечена переменной , то говорят, что на вход подается переменная .

Вершины из и называются функциональными элементами схемы.

Вершины из называют выходами схемы.

Сложностью схемы называют число входящих в нее функциональных элементов.

Пример 1. На рис. 3.87 приведена схема, имеющая два входа, один выход и четыре функциональных элемента. Схема имеет сложность 4.

Рис. 3.87.

Глубиной вершины в схеме назовем наибольшую из длин путей из входов в .

Например, в схеме из примера 1 вершины и имеют глубину 1, вершина - глубину 2, вершина - глубину 3.

Пусть входы схемы помечены переменными . Каждой вершине сопоставим булеву функцию по следующему индуктивному правилу.

Базис индукции. Пусть имеет глубину 0. Тогда это вход схемы, который помечен некоторой переменной . Положим .

Индуктивный переход. Пусть всем вершинам глубины, меньшей или равной , уже сопоставлены функции и пусть - произвольная вершина глубины . Эта вершина принадлежит одному из множеств или .

а) Если вершина принадлежит , то в нее входит одна дуга, выходящая из некоторой вершины . Глубина вершины не превосходит , и, значит, в силу предположения индукции вершине уже сопоставлена некоторая булева функция . Вершине сопоставим отрицание этой функции, т.е. .

б) Если вершина принадлежит , то в нее входят две дуги, выходящие из некоторых вершин и , которым в силу предположения индукции уже сопоставлены булевы функции и соответственно. Если вершина помечена связкой , то сопоставим ей функцию . Если вершина помечена связкой , то сопоставим ей функцию .

Если вершине сопоставлена функция , то говорят, что в реализуется булева функция .

Схема по определению реализует систему булевых функций, сопоставленных выходам этой схемы.

Пример 2. В соответствии с данным выше определением в вершинах схемы, изображенной на рис. 3.87, реализуются следующие функции:

, , , .

Схема реализует последнюю из перечисленных функций.

Со схемами из функциональных элементов связаны две основные проблемы - проблема анализа и проблема синтеза схемы.

Проблема анализа состоит в том, чтобы по заданной схеме из функциональных элементов и выделенному подмножеству ее выходных вершин определить булевы функции, реализуемые в этих вершинах.

Проблема синтеза заключается в построении схемы из функциональных элементов, реализующей заданную функцию. При этом желательно, чтобы схема имела наименьшую сложность.

Пример 3. Построим схему в базисе , реализующую функцию .

Рис. 3.88.

Воспользуемся тем, что можно задать формулой , и реализуем ее схемой, изображенной на рис. 3.88. Эта схема имеет сложность два. Заметим, что функция из примера 2 равна функции из примера 3. Очевидно, что схема на рис. 3.88 имеет наименьшую сложность из всех схем в базисе , реализующих эту функцию.