
Лекция 14
§ 3.8. Ориентированные графы
|
Ориентированный граф (орграф). Диаграмма орграфа. Полустепень исхода и полустепень захода вершины. Изоморфные орграфы. Матрицы смежности и инцидентности орграфа. Ориентированные пути, цепи, циклы. Слабая и сильная связность. |
Базовые понятия и утверждения
1. Общие понятия. Перейдем к рассмотрению ориентированных графов.
Определение.Пусть-
конечное непустое множество,
-
конечное множество, состоящее из
поименованных упорядоченных пар
элементов множества
,
причем это могут быть пары из одинаковых
элементов и одинаковые пары с разными
именами. Совокупность множеств
и
называюториентированным графомили, короче,орграфом
и обозначают
.
Элементы множества
называютвершинами, а элементы множества
-дугами.
Если дуга
есть упорядоченная пара вершин
и
,
то пишут
.
Вершину
называютначаломдуги
,
а вершину
- ееконцом. При этом говорят, что
дуга
исходит (выходит) из вершины
и заходит в вершину
.
Дугу
и вершину
(
)
называют при этоминцидентными.
|
Рис. 3.74. |
Пример 1.На рис.
3.74 изображена диаграмма ориентированного
графа
с вершинами
,
,
,
,
и дугами
,
,
,
.
Число дуг, исходящих из вершины
орграфа
,
называютполустепеньюисходавершины
и обозначают
.
Число дуг, заходящих в вершину
,
называютполустепенью заходавершины
и обозначают
.
Число
называют степенью вершины
.
Из определений следует, что для любого
орграфа
справедливы
равенства:
.
Понятия изолированных и висячих вершин, а также висячих, кратных дуг и петель вводятся для ориентированного графа по аналогии с подобными понятиями для неориентированного графа.
Дуги вида
и
называются симметричными.
Например, у орграфа на рис. 3.74 вершина
- изолированная, вершина
- висячая, дуга
- висячая, дуга
- петля, дуги
и
-
кратные. Симметричных дуг у этого орграфа
нет.
Ориентированные графы без петель и кратных дуг называют обыкновенными ориентированными графами.
Направленным графомназывается такой обыкновенный орграф, который не имеет симметричных пар ориентированных дуг. Граф на рис. 3.74 - направленный.
2. Изоморфные орграфы.Орграфыи
называютсяизоморфными, если
существуют такие два взаимно-однозначных
отображения
и
,
что для всякой дуги
из
справедливо равенство
.
Введем на множестве орграфов бинарное отношение изоморфизма, состоящее из всех пар изоморфных орграфов. Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, и значит, является отношением эквивалентности. Оно разбивает множество всех орграфов на классы эквивалентности так, что орграфы одного класса попарно изоморфны, а орграфы разных классов не изоморфны. Если не оговорено иное, орграфы рассматриваются с точностью до изоморфизма, т.е. объектом изучения являются не отдельные орграфы, а классы эквивалентности по отношению изоморфизма. Каждый класс эквивалентности по отношению изоморфизма можно задать диаграммой, не указывая на ней имена вершин и дуг.
Пример 2. На рис. 3.75 изображены диаграммы всех (с точностью до изоморфизма) обыкновенных орграфов с двумя вершинами.
|
|
|
Рис. 3.75. |
3. Матрица смежности и матрица
инцидентности орграфа.Пусть- произвольный орграф сm
вершинами иnдугами.
Пометим его дважды, т.е. упорядочим
множества его вершин и дуг.
Определение.Матрицей смежностиорграфаназывается матрица
размера
,
элементы которой
,
где
- число дуг, исходящих из вершины с
номером
и заходящих в вершину с номером
.
Определение.Матрицей инцидентностиорграфаназывается матрица
размера
,
элементы которой
определены следующим образом:
1)
,
если вершина с номеромi- начало дуги с номеромj
иj-я
дуга - не петля;
2)
,
если вершина с номеромi
- конец дуги с номеромjиj-я
дуга - не петля;
3)
во всех остальных случаях.
Пример 3. Выпишем
матрицы смежности и инцидентности для
графа из примера 1. Упорядочим естественным
образом вершины и дуги графа, т.е. дадим
вершинам и дугам номера в соответствии
с их индексами (вершине- номер 1, вершине
- номер 2 и т.д.). При таком упорядочивании
вершин и дуг матрицы смежности
и инцидентности
выглядят следующим образом:
;
.
4. Ориентированные пути, цепи, циклы
на орграфе. Ориентированные путь,
замкнутый путь, цепь, цикл, простая цепь
и простой циклопределяются в
ориентированном графе аналогично
соответствующим неориентированным
объектам в графах, однако с тем отличием,
что в последовательности вершин и дугдля любой дуги
вершина
является началом, а вершина
-концом.
Простой орцикл часто называют контуром.
Очевидно, что если на орграфе есть
ориентированный путь из вершины
в вершину
,
то есть иориентированнаяпростая цепь из
в
.
На множестве вершин ориентированного
графа
введем бинарное отношениедостижимости
(связности) (~), включив в него все
те пары вершин
,
для которых на орграфе есть путь из
в
.
Если
,
то говорят, что
достижима из
.
Ориентированный граф называется сильно связным, если любая вершина в нем достижима из любой другой вершины.
Заменяя каждую дугу
орграфа
на ребро
,
получаем неориентированный граф
,
называемый основанием данного орграфа
.
Орграф называется связным (слабо связным), если связно его основание.
Очевидно, что сильно связный граф является связным; обратное утверждение в общем случае неверно.
Например,орграф(рис. 3.76) слабо связным является, а сильно
связным - нет, орграф
является как слабо связным, так и сильно
связным, орграф
не является ни слабо, ни сильно связным.
-
Рис. 3.76.
Орграф, основание которого есть полный граф, называется турниром.
5. Ориентированные деревья.Определим по индукции понятиеориентированного дерева.
Определение.Базис
индукции.Орграфс единственной вершиной
и пустым множеством дуг является
ориентированным деревом. Вершина
- называется корнем этого дерева.
Индуктивный переход.Пусть орграфыи
- ориентированные деревья с корнямиaиbсоответственно. Тогда орграф
,
где
,
,
и
,
является ориентированным деревом с
корнемси орграф
,
где
,
,
является деревом с корнем
(рис. 3.77).
|
Рис. 3.77. |
Из определения непосредственно следует, что в каждом ориентированном дереве есть ровно одна вершина (корень), в которую не входят дуги, в каждую из остальных вершин входит ровно по одной дуге и все вершины достижимы из корня.
Вершины ориентированного дерева, из
которых не выходят дуги, называются
листьями. Если из вершиныведет дуга в вершину
,
то
называетсяотцом, а
-сыном. Из определения дерева
следует, что у каждой вершины (кроме
корня) имеется единственный отец. Если
из вершины
ведет путь в вершину
,
то
называетсяпредком, а
-потомком.
Путь из корня в лист называется ветвьюдерева. Максимальная из длин ветвей
дерева называетсявысотойдерева.Глубинавершины - это длина пути из
корня в эту вершину. Для вершиныподграф дерева
,
включающий все достижимые из
вершины и инцидентные им дуги, образуетподдерево
с корнем
.Высота вершины
- это высота дерева
.
Пример 4. На рис.
3.78 изображена диаграмма ориентированного
дерева, корнем которого является вершина.
Вершины
,
,
и
- листья. Вершина
- потомок вершин
,
и
;
вершина
- потомок вершин
и
;
вершина
- предок вершин
,
,
и
;
вершина
- отец вершин
и
;
вершина
- сын вершины
,
отец вершины
;
вершина
- сын вершины
,
отец вершины
.
Высота дерева равна трем. Глубина вершины
-
2, высота - 1; глубина вершины
- 1, высота - 2.
Ориентированное дерево называется бинарным, если у каждой его вершины имеется не более двух сыновей, причем дуги, ведущие к ним, помечены двумя разными метками (например, 0 и 1).
|
|
Рис. 3.78. |
Рис. 3.79. |
Бинарное дерево называется полным, если у всех его вершин (за исключением листьев) имеется ровно два сына и все его ветви имеют одинаковую длину.
На рис. 3.79приведен пример диаграммыполногобинарного дерева.