Лекция 14

§ 3.8. Ориентированные графы

Ориентированный граф (орграф). Диаграмма орграфа. Полустепень исхода и полустепень захода вершины. Изоморфные орграфы. Матрицы смежности и инцидентности орграфа. Ориентированные пути, цепи, циклы. Слабая и сильная связность.

Базовые понятия и утверждения

1. Общие понятия. Перейдем к рассмотрению ориентированных графов.

Определение.Пусть- конечное непустое множество,- конечное множество, состоящее из поименованных упорядоченных пар элементов множества, причем это могут быть пары из одинаковых элементов и одинаковые пары с разными именами. Совокупность множествиназываюториентированным графомили, короче,орграфом и обозначают.

Элементы множества называютвершинами, а элементы множества -дугами.

Если дуга есть упорядоченная пара вершини, то пишут. Вершинуназываютначаломдуги , а вершину- ееконцом. При этом говорят, что дугаисходит (выходит) из вершиныи заходит в вершину. Дугуи вершину() называют при этоминцидентными.

Рис. 3.74.

Орграфы принято изображать при помощи диаграмм, аналогичных диаграммам графов, отличие состоит лишь в том, что линиям, изображающим дуги, придают направление.

Пример 1.На рис. 3.74 изображена диаграмма ориентированного графа с вершинами,,,,и дугами,,,.

Число дуг, исходящих из вершины орграфа, называютполустепеньюисходавершиныи обозначают. Число дуг, заходящих в вершину, называютполустепенью заходавершиныи обозначают. Числоназывают степенью вершины.

Из определений следует, что для любого орграфа справедливы равенства:

.

Понятия изолированных и висячих вершин, а также висячих, кратных дуг и петель вводятся для ориентированного графа по аналогии с подобными понятиями для неориентированного графа.

Дуги вида иназываются симметричными.

Например, у орграфа на рис. 3.74 вершина - изолированная, вершина- висячая, дуга- висячая, дуга- петля, дугии- кратные. Симметричных дуг у этого орграфа нет.

Ориентированные графы без петель и кратных дуг называют обыкновенными ориентированными графами.

Направленным графомназывается такой обыкновенный орграф, который не имеет симметричных пар ориентированных дуг. Граф на рис. 3.74 - направленный.

2. Изоморфные орграфы.Орграфыиназываютсяизоморфными, если существуют такие два взаимно-однозначных отображенияи, что для всякой дугиизсправедливо равенство.

Введем на множестве орграфов бинарное отношение изоморфизма, состоящее из всех пар изоморфных орграфов. Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, и значит, является отношением эквивалентности. Оно разбивает множество всех орграфов на классы эквивалентности так, что орграфы одного класса попарно изоморфны, а орграфы разных классов не изоморфны. Если не оговорено иное, орграфы рассматриваются с точностью до изоморфизма, т.е. объектом изучения являются не отдельные орграфы, а классы эквивалентности по отношению изоморфизма. Каждый класс эквивалентности по отношению изоморфизма можно задать диаграммой, не указывая на ней имена вершин и дуг.

Пример 2. На рис. 3.75 изображены диаграммы всех (с точностью до изоморфизма) обыкновенных орграфов с двумя вершинами.

Рис. 3.75.

3. Матрица смежности и матрица инцидентности орграфа.Пусть- произвольный орграф сm вершинами иnдугами. Пометим его дважды, т.е. упорядочим множества его вершин и дуг.

Определение.Матрицей смежностиорграфаназывается матрицаразмера, элементы которой, где- число дуг, исходящих из вершины с номероми заходящих в вершину с номером.

Определение.Матрицей инцидентностиорграфаназывается матрицаразмера, элементы которойопределены следующим образом:

1) , если вершина с номеромi- начало дуги с номеромj иj-я дуга - не петля;

2) , если вершина с номеромi - конец дуги с номеромjиj-я дуга - не петля;

3) во всех остальных случаях.

Пример 3. Выпишем матрицы смежности и инцидентности для графа из примера 1. Упорядочим естественным образом вершины и дуги графа, т.е. дадим вершинам и дугам номера в соответствии с их индексами (вершине- номер 1, вершине- номер 2 и т.д.). При таком упорядочивании вершин и дуг матрицы смежностии инцидентностивыглядят следующим образом:

;.

4. Ориентированные пути, цепи, циклы на орграфе. Ориентированные путь, замкнутый путь, цепь, цикл, простая цепь и простой циклопределяются в ориентированном графе аналогично соответствующим неориентированным объектам в графах, однако с тем отличием, что в последовательности вершин и дугдля любой дугивершинаявляется началом, а вершина-концом.

Простой орцикл часто называют контуром.

Очевидно, что если на орграфе есть ориентированный путь из вершины в вершину, то есть иориентированнаяпростая цепь из в.

На множестве вершин ориентированного графа введем бинарное отношениедостижимости (связности) (~), включив в него все те пары вершин, для которых на орграфе есть путь изв. Если, то говорят, чтодостижима из.

Ориентированный граф называется сильно связным, если любая вершина в нем достижима из любой другой вершины.

Заменяя каждую дугу орграфана ребро, получаем неориентированный граф, называемый основанием данного орграфа.

Орграф называется связным (слабо связным), если связно его основание.

Очевидно, что сильно связный граф является связным; обратное утверждение в общем случае неверно.

Например,орграф(рис. 3.76) слабо связным является, а сильно связным - нет, орграфявляется как слабо связным, так и сильно связным, орграфне является ни слабо, ни сильно связным.

Рис. 3.76.

Орграф, основание которого есть полный граф, называется турниром.

5. Ориентированные деревья.Определим по индукции понятиеориентированного дерева.

Определение.Базис индукции.Орграфс единственной вершинойи пустым множеством дуг является ориентированным деревом. Вершина- называется корнем этого дерева.

Индуктивный переход.Пусть орграфыи- ориентированные деревья с корнямиaиbсоответственно. Тогда орграф, где,, и, является ориентированным деревом с корнемси орграф, где,, является деревом с корнем(рис. 3.77).

Рис. 3.77.

Из определения непосредственно следует, что в каждом ориентированном дереве есть ровно одна вершина (корень), в которую не входят дуги, в каждую из остальных вершин входит ровно по одной дуге и все вершины достижимы из корня.

Вершины ориентированного дерева, из которых не выходят дуги, называются листьями. Если из вершиныведет дуга в вершину, тоназываетсяотцом, а-сыном. Из определения дерева следует, что у каждой вершины (кроме корня) имеется единственный отец. Если из вершиныведет путь в вершину, тоназываетсяпредком, а-потомком.

Путь из корня в лист называется ветвьюдерева. Максимальная из длин ветвей дерева называетсявысотойдерева.Глубинавершины - это длина пути из корня в эту вершину. Для вершиныподграф дерева, включающий все достижимые извершины и инцидентные им дуги, образуетподдеревос корнем.Высота вершины- это высота дерева.

Пример 4. На рис. 3.78 изображена диаграмма ориентированного дерева, корнем которого является вершина. Вершины,,и- листья. Вершина- потомок вершин,и; вершина- потомок вершини; вершина- предок вершин,,и; вершина- отец вершини; вершина- сын вершины, отец вершины; вершина- сын вершины, отец вершины. Высота дерева равна трем. Глубина вершины- 2, высота - 1; глубина вершины- 1, высота - 2.

Ориентированное дерево называется бинарным, если у каждой его вершины имеется не более двух сыновей, причем дуги, ведущие к ним, помечены двумя разными метками (например, 0 и 1).

Рис. 3.78.	Рис. 3.79.

Бинарное дерево называется полным, если у всех его вершин (за исключением листьев) имеется ровно два сына и все его ветви имеют одинаковую длину.

На рис. 3.79приведен пример диаграммыполногобинарного дерева.