Теоретические обоснования

Теорема 3.4 (о характеристических свойствах деревьев). Для графа следующие утверждения равносильны:

1. граф - дерево;

2. ациклический и ;

3. связный и ;

4. связный, и каждое его ребро является мостом;

5. любые две вершины графа можно соединить простой цепью, притом единственной;

6. ациклический, и добавление к нему нового ребра приводит к образованию единственного простого цикла.

Доказательство. Доказательство проведем по следующей схеме: .

. Индукцией по числу ребер проверим, что для любого дерева выполняется равенство .

Базис индукции. Пусть , тогда , и равенство выполнено.

Индуктивный переход. Предположим, что требуемое равенство выполняется для любого дерева с числом ребер, меньшим либо равным . Докажем, что оно справедливо и для дерева с числом ребер . Удалим из графа произвольное ребро . Согласно свойству мостов (см. теорему о мостах и циклах из параграфа 3.2), ребро - мост. По теореме о мостах, . Следовательно, граф состоит из двух компонент связности и , каждая из которых - дерево с числом ребер, меньшим либо равным . Для каждой компоненты связности справедливо предположение индукции, т.е. выполнены равенства и . Сложив эти равенства почленно, получим: . Или .

. Докажем, что если граф ациклический и , то граф связный. Будем рассуждать от противного, т.е. предположим, что найдется ациклический граф , число ребер которого на единицу меньше числа вершин, который связным не является. Пусть , , - число компонент связности графа . Каждая компонента связности - дерево. Переход уже доказан, следовательно, для каждой компоненты связности можем записать: . Просуммировав по , получим:

,

или

.

Так как , то пришли к противоречию с условием . Следовательно, наше предположение было неверным.

. Докажем, что если граф связный и , то каждое его ребро является мостом. Будем рассуждать от противного. Предположим, что найдется связный граф , у которого и при этом есть ребро , не являющееся мостом. Тогда граф связный и

.

Получили противоречие с утверждением теоремы о знаке цикломатического числа, значит, наше предположение было неверным.

. Из связности графа вытекает, что любые две его вершины можно соединить путем, а следовательно, и простой цепью. Докажем, что эта простая цепь единственна. Доказательство проведем от противного. Предположим, что найдется связный граф, все ребра которого - мосты, такой, что в нем есть две вершины и , соединенные двумя различными простыми цепями и . Поскольку цепи и различны, то имеется ребро , входящее в цепь и не входящее в цепь .

Пусть и - фрагменты цепи . Склеим инвертированный фрагмент , цепь и инвертированный фрагмент . Получим на графе путь из в , не содержащий ребра . Из этого маршрута выделим простую цепь из в и склеим ее с цепью . В результате получим цикл, содержащий , а это противоречит тому, что ребро - мост.

. Пусть для графа выполнено условие 5.

Проверим сначала, что граф не содержит циклов. Будем рассуждать от противного. Предположим, что на графе имеется цикл. Пусть - одно из ребер этого цикла. Тогда - одна простая цепь, соединяющая вершины и , а часть цикла за вычетом ребра - другая (если - петля, то имеется также две простые цепи из в : ими является цепь из одной вершины и цепь ). Получили противоречие с условием 5.

Покажем, что добавление к графу нового ребра приводит к образованию цикла, причем только одного. Возьмем на графе две произвольные вершины и и соединим их новым ребром ; получим граф . По условию на графе имеется единственная простая цепь из в . Склеив ее с цепью , получим на графе простой цикл. Докажем, что этот цикл единственный. Предположим, что при добавлении ребра образовалось два простых цикла. Тогда, удалив из каждого из них ребро , получим на графе две простые цепи из в , а наличие двух таких цепей противоречит условию 5.

. Будем рассуждать от противного, т.е. предположим, что существует несвязный граф , для которого выполнено условие 6. Возьмем на этом графе две вершины, лежащие в разных компонентах связности, и соединим их ребром . В результате образуется граф , для которого ребро является мостом и, следовательно, не содержится ни в одном цикле. Таким образом, добавление ребра не привело к образованию цикла, что противоречит условию 6. ■

Следствие. Неодноэлементное дерево имеет не менее двух висячих вершин.

Доказательство. Рассмотрим произвольное дерево, имеющее не менее двух вершин. Представим множество его вершин в виде , где - множество висячих вершин этого дерева. Тогда

.

Но , поэтому , откуда .■

15