Лекция 11

§ 3.3. Деревья

Дерево. Лес (ациклический граф). Остовный подграф. Остов. Взвешенный граф. Минимальный остов. Кодирование деревьев.

Базовые понятия и утверждения

1. Определение и основные свойства деревьев.

Определение. Граф называется деревом, если он связный и в нем нет циклов.

Одноэлементный граф, т.е. граф, имеющий одну вершину и не имеющий ребер, также считается деревом.

Граф называется лесом (или ациклическим графом), если в нем нет циклов. Очевидно, что каждая компонента связности леса - дерево.

Пример 1. Граф (рис. 3.19) не является ни деревом, ни лесом. Граф (рис. 3.20) - дерево. Граф (рис. 3.21) - лес, состоящий из четырех деревьев.

Рис. 3.19.	Рис. 3.20.	Рис. 3.21.

Пример 2. Представьте диаграммами все (с точностью до изоморфизма) деревья с пятью вершинами.

◄ Имеется три различных (с точностью изоморфизма) дерева с пятью вершинами (рис. 3.22 - 3.24). ►

Рис. 3.22.	Рис. 3.23.	Рис. 3.24.

Деревья обладают рядом характеристических свойств, по наличию или отсутствию каждого их которых в рассматриваемом графе можно определить, является граф деревом или нет. Перечислим эти свойства:

1) граф - дерево в том и только в том случае, когда в нем нет циклов и ;

2) граф - дерево в том и только в том случае, когда он связный и ;

3) граф - дерево в том и только в том случае, когда он связный, и каждое его ребро является мостом;

4) граф - дерево в том и только в том случае, когда любые две вершины графа можно соединить простой цепью, притом единственной;

5) граф - дерево в том и только в том случае, когда в нем нет циклов и добавление к нему нового ребра приводит к образованию единственного простого цикла.

Также приведем одно из характеристических свойств леса: граф , имеющий компонент связности, является лесом в том и только в том случае, когда .

2. Остовы графа. Подграф графа называется остовным подграфом, если множество его вершин совпадает с множеством вершин графа .

Остовом обыкновенного графа называется его остовный подграф, являющийся деревом.

Пусть - связный граф. Если содержит хотя бы один цикл, то удалив из графа некоторое ребро этого цикла, мы уменьшим число циклов графа по крайней мере на единицу, сохранив при этом его связность. Ясно, что, последовательно разрушая циклы данного графа, можно прийти к остову графа. Поскольку дерево с вершинами имеет ровно ребро, то для получения остова нужно удалить из графа ребро, т.е. число ребер, равное цикломатическому числу связного графа .

Пусть теперь - произвольный граф с компонентами связности. Из каждой компоненты связности этого графа удалим ребро так, чтобы получился остов этой компоненты. В результате получим некоторый остовный подграф графа . Подсчитаем общее число ребер, которое нам пришлось для этого удалить. Сложив равенства , , получим:

.

Таким образом, чтобы получить остовный подграф, нужно, последовательно разрушая циклы графа, удалить из него число ребер, равное его цикломатическому числу.

Пример 3. Построим остов графа , диаграмма которого изображена на рис. 3.25. Удалим из графа ребро ; получим граф (рис. 3.26). Из графа удалим ребро ; получим граф (рис. 3.27). Из графа удалим ребро ; получим граф (рис. 3.28), который является одним из остовов графа .

Рис. 3.25.	Рис. 3.26.

Рис. 3.27.	Рис. 3.28.

Пусть - обыкновенный связный граф. Упорядочим множество его вершин . Определим матрицу Кирхгофа графа , положив:

,

где - матрица смежности графа, соответствующая данному упорядочению вершин.

Справедливы следующие утверждения:

1) алгебраические дополнения всех элементов матрицы Кирхгофа графа равны между собой;

2) число остовов в связном неодноэлементном обыкновенном графе равно алгебраическому дополнению любого элемента его матрицы Кирхгофа.

Доказательство этих утверждений опустим.

Пример 4. Найдем число остовов в полном графе с помеченными вершинами и представим их диаграммами.

◄ Пометим вершины графа (рис. 3.29) и выпишем для полученного графа матрицу Кирхгофа:

.

Найдем алгебраическое дополнение к элементу матрицы , стоящему на пересечении первой строки и первого столбца (элемент взят нами произвольно):

.

Таким образом, число помеченных остовов в полном графе с тремя вершинами равно 3. Их диаграммы изображены на рис. 3.30 - 3.32. ►

Рис. 3.29.	Рис. 3.30.	Рис. 3.31.	Рис. 3.32.

3. Построение минимального остова. Взвешенным графом называется граф, на множестве ребер которого задано отображение , приписывающее каждому ребру неотрицательное число .

Число называется весом ребра , число - весом графа .

Остов связного взвешенного графа называют минимальным остовом, если для любого остова выполнено неравенство .

Опишем алгоритм построения минимального остова в связном взвешенном графе, предложенный Дж. Краскалом в 1956 г.

Пусть - связный взвешенный граф.

0-й шаг. Строим остовный подграф графа , множество ребер которого пусто.

-й шаг. Пусть - остовный подграф с множеством ребер , построенный к началу этого шага. Из множества ребер выбираем ребро так, чтобы выполнялись два условия:

а) добавление ребра не приводит к образованию циклов;

б) из ребер, удовлетворяющих условию а), ребро обладает наименьшим весом.

Если такого ребра нет, то - остов минимального веса; если есть, то, добавляя выбранное ребро к остовному подграфу , получаем остовный подграф с множеством ребер .

После чего повторяем -й шаг.

Замечания. 1. В случае несвязного графа, следуя алгоритму Краскала, можно построить остовный лес минимального веса.

2. Если граф невзвешенный, то, присвоив всем ребрам одинаковые веса, по алгоритму Краскала можно построить остов (остовный лес).

Пример 5. Построить остов минимального веса графа , представленного диаграммой на рис. 3.33 (на диаграмме около каждого ребра проставлен его вес).

◄ Согласно алгоритму Краскала, строим последовательность остовных подграфов:

Рис. 3.33.

с пустым множеством ребер (рис. 3.34);

с множеством ребер (рис. 3.35);

с множеством ребер (рис. 3.36);

с множеством ребер(рис. 3.37);

с множеством ребер{}(рис. 3.38);

с множеством ребер (рис. 3.39).

Добавление к графу любого из оставшихся ребер графа ведет к образованию цикла. Таким образом, остовный подграф c множеством ребер - минимальный остов; его вес равен . ►

Рис. 3.34.	Рис. 3.35.	Рис. 3.36.
Рис. 3.37.	Рис. 3.38.	Рис. 3.39.

4. Кодирование деревьев. Выделим в дереве какую-нибудь одну вершину, которую назовем корнем. Полученное дерево с выделенной вершиной называется корневым.

Для задания (с точностью до изоморфизма) корневых деревьев используют бинарный код (из 0 и 1), который мы определим индуктивно.

Определение. Бинарным кодом корневого дерева с одним ребром является последовательность . Пусть деревья и с корнями a и b соответственно (рис. 3.40) имеют коды и . Тогда кодом дерева с корнем с является код , а кодом дерева с корнем - код .

Рис. 3.40.

Пример 6. Построить бинарный код дерева, изображенного на рис. 3.41.

Рис. 3.41.

◄ Этапы построения кода отражены на рис. 3.41. Код дерева - .►

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы последовательность нулей и единиц являлась кодом некоторого дерева, необходимо и достаточно, чтобы число нулей и единиц в последовательности было одинаковым, причем в любом начальном отрезке последовательности количество нулей было не меньше количества единиц.

Рис. 3.42.	Рис. 3.43.

Например, последовательность не может быть бинарным кодом дерева, поскольку в отрезке из пяти первых цифр этой последовательности единиц больше, чем нулей.

Чтобы построить корневое дерево по коду из нулей и единиц, нужно разбить последовательность на пары 0 и 1, следуя правилу: первая попавшаяся в коде единица образует пару с предшествующим нулем; каждая следующая единица образует пару с ближайшим слева неиспользованным нулем. Если образованные таким образом пары пометить снизу кода фигурными скобками, то каждая такая скобка будет соответствовать ребру графа.

Пример 7. Построить дерево по коду .

◄Разобьем элементы последовательности на пары: и построим дерево (рис. 3.43).►

Для задания деревьев c занумерованными вершинами используют код из натуральных чисел (код Прюфера).

Код Прюфера для дерева с занумерованными вершинам строят следующим образом. Находят висячую вершину с наименьшим номером. Записывают номер смежной с ней вершины (это начало кода), после чего удаляют эту висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Для полученного в результате данной операции дерева находят висячую вершину с наименьшим номером, записывают номер смежной с ней вершины (это продолжение кода), после чего удаляют эту висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Так поступают до тех пор, пока не останется последнее ребро (его вершины в код не включают). Полученная в результате описанных действий последовательность и есть код Прюфера. Заметим, что длина этого кода на единицу меньше числа ребер и на две единицы меньше числа вершин дерева.

Пример 8. Построить код Прюфера для дерева, изображенного на рис. 3.44.

Рис. 3.44.

◄ Применим описанный выше алгоритм:

1-й шаг. У исходного дерева (см. рис. 3.44) висячая вершина с наименьшим номером - это 1. Записываем смежную с ней вершину 2 в начало кода - 2. Удаляем ребро с концами 1, 2 и получаем дерево, изображенное на рис. 3.45,а.

2-й шаг. У дерева на рис. 3.45,а висячая вершина с наименьшим номером - это 3. Записываем смежную с ней вершину 2 в конец строящегося кода - 22. Удаляем ребро с концами 3, 2 и получаем дерево, изображенное на рис. 3.45,б.

3-й шаг. У дерева на рис. 3.45,б висячая вершина с наименьшим номером - это 2. Записываем смежную с ней вершину 4 в конец строящегося кода - 224. Удаляем ребро с концами 2, 4 и получаем дерево, изображенное на рис. 3.45,в.

4-й шаг. У дерева на рис. 3.45,в висячая вершина с наименьшим номером - это 5. Записываем смежную с ней вершину 4 в конец строящегося кода - 2244. Удаляем ребро с концами 5, 4 и получаем дерево, изображенное на рис. 3.45,г.

5-й шаг. У дерева на рис. 3.45,г висячая вершина с наименьшим номером - это 4. Записываем смежную с ней вершину 6 в конец строящегося кода - 22446. Удаляем ребро с концами 4, 6 и получаем дерево, изображенное на рис. 3.45,д.

6-й шаг. У дерева на рис. 3.45,д висячая вершина с наименьшим номером - это 7. Записываем смежную с ней вершину 6 в конец строящегося кода - 224466. Удаляем ребро с концами 6, 7 и получаем дерево, изображенное на рис. 3.45,е.

Таким образом, код дерева, изображенного на рис. 3.44 - . ►

а	б	в
г	д	е
Рис. 3.45.

Построение дерева по коду из натуральных чисел рассмотрим на примере кода . Прежде всего заметим, что дерево, которое нам предстоит построить, имеет 8 вершин.

2	2	4	4	6	6
1	2	4	4	6	6
1	3	4	4	6	6
1	3	2	4	6	6
1	3	2	5	6	6
1	3	2	5	4	6
1	3	2	5	4	7
2	2	4	4	6	6
Рис. 3.47.

Будем преобразовывать последовательность 224466, действуя по следующей схеме. Вместо первого числа запишем наименьшее натуральное число, которое в этой последовательности не встречается, т.е. 1; получим последовательность 124466. Вместо второго числа в новой последовательности запишем наименьшее, не встречающееся в ней, т.е. 3; получим последовательность 134466, и т.д. Действуем так до тех пор, пока все числа в исходной последовательности не будут заменены. Расположим все последовательности друг под другом; под последней из них запишем код дерева (см. рис. 3.47). Выпишем пары вершин, записанные друг под другом в последних двух строчках: (12), (32), (24), (54), (46), (76). Каждая такая пара - это пара концов одного из ребер дерева. Этот список дополним парой вершин, отсутствующих в предпоследней строчке, т.е. парой (6,8). Теперь построим дерево: отметим на плоскости точки - вершины дерева и соединим их ребрами согласно списку (см. рис. 3.47).