5. Подграфы и операции над ними. Пусть - граф и , . Если подмножества и таковы, что концы любого ребра из принадлежат множеству , то граф называется подграфом графа .

В число подграфов графа будем включать пустой подграф и обозначать его .

Пусть - подмножество множества вершин графа . Включим в множество все ребра графа , концы которых принадлежат . Подграф графа назовем подграфом, порожденным множеством .

Пример 6. Рассмотрим граф , представленный диаграммой на рис. 3.9. Графы , , , , - подграфы . Подграф порожден подмножеством вершин графа , в то время как подграф , множество вершин которого совпадает с множеством вершин графа , не является подграфом, порожденным множеством своих вершин .

Рис. 3.9.

Пусть и - подграфы графа .

Пересечением графов и называется граф , т.е. граф, множества вершин и ребер которого являются пересечением соответствующих множеств графов и .

Объединением графов и называется граф , т.е. граф, множества вершин и ребер которого являются объединением соответствующих множеств графов и .

Аналогично определяется пересечение и объединение любого конечного числа подграфов.

Пример 7. На рис. 3.10 показаны пересечения и объединения подграфов из примера 6.

Совокупность непустых, попарно-непересекающихся подграфов , ,…, графа называют дизъюнктным разбиением графа , если их объединение совпадает с графом , т.е. .

Рис. 3.10.

Пример 8. На рис. 3.11 показаны диаграммы графа и трех его подграфов , , , образующих в совокупности дизъюнктное разбиение .

Рис. 3.11.

Назовем декартовым произведением графов и граф , вершинами которого являются упорядоченные пары вида , где , , и в котором вершины и смежные в точности в одном из двух случаев: 1) и - смежные вершины в графе , а ; 2) и - смежные вершины в графе , а .

Пример 9. Пусть - граф с вершинами и и ребром , а - граф с вершинами , , и ребрами , . На рис. 3.12 показаны диаграммы графов , и .

Рис. 3.12.

Удалением вершины из графа называется операция, которая удаляет из графа вершину и все инцидентные ей ребра. Получающийся в результате подграф обозначают .

Удалением ребра из графа называется операция, которая удаляет из графа ребро (концы ребра не удаляются). Получающийся в результате подграф обозначают .

Пример 10. На рис. 3.13 изображены диаграммы графа , графа , полученного из удалением вершины , и графа , полученного из удалением ребра .

Рис. 3.13.

13