Лекция 9

§ 3.1. Основные определения

Граф, его вершины и ребра. Смежные вершины. Кратные ребра, петли. Инцидентные вершины и ребра. Степени вершин. Висячие и изолированные вершины. Лемма о рукопожатиях. Диаграмма графа. Изоморфные графы. Специальные виды графов: обыкновенные, полные, двудольные, полные двудольные графы. Матрица смежности и матрица инцидентности. Подграф. Операции над графами: объединение, пересечение, декартово произведение.

Базовые понятия и утверждения

1. Общие понятия. Различают два вида графов - неориентированные и ориентированные. Знакомство с теорией графов мы начнем с изучения графов первого вида.

Определение. Пусть - конечное непустое множество, - конечное множество, состоящее из поименованных неупорядоченных пар элементов множества , причем это могут быть пары из одинаковых элементов и одинаковые пары с разными именами. Совокупность множеств и называют графом (или неориентированным графом) и обозначают .

Элементы множества называют вершинами, а элементы множества - ребрами.

Граф может вовсе не иметь ребер. Такой граф называют нулевым.

Множества вершин и ребер графа также обозначают и соответственно. Если ребро - это пара вершин и , то пишут .

Обычно графы представляют диаграммами. Каждой вершине графа ставят в соответствие свою точку плоскости или пространства, которую помечают тем же символом, что и вершину , а каждому ребру ставят в соответствие непрерывную кривую, соединяющую точки , и не проходящую через точки, изображающие другие вершины графа.

Рис. 3.1.

На рис. 3.1 приведен пример диаграммы графа с тремя вершинами , , и двумя ребрами , . Конечно, точки и кривые, изображающие вершины и ребра данного графа, можно было расположить на плоскости иначе. При задании графа важно лишь то, что некоторые из точек плоскости соединены кривой, а сам вид этой кривой и места расположения точек не имеют значения.

Если , то говорят, что ребро соединяет вершины и , и вершины и называют концами ребра . Если две вершины соединены ребром, их называют смежными вершинами. Если ребра имеют общую концевую вершину, то их называют смежными ребрами. Если - конец ребра , то ребро и вершину называют инцидентными. Если и , то ребра и называют кратными. Ребро вида называют петлей.

Граф без петель и кратных ребер называется обыкновенным.

Число ребер, инцидентных вершине (петля учитывается дважды), называют степенью вершины и обозначают . Если , то вершину называют изолированной, а если , то - висячей. Ребро, инцидентное висячей вершине, также называют висячим.

Рис. 3.2.

Пример 1. Рассмотрим граф с вершинами и ребрами , , , ,, (на рис. 3.2 изображена его диаграмма).

Вершины и , и , и , и - смежные. Ребра , - кратные, ребро - петля. Вершина - инцидентна ребру , - ребрам , , и , - ребрам , и , - ребрам , и . Вершины графа имеют степени: , , , , . Вершина - висячая, вершина - изолированная. Ребро - висячее.

Лемма (о рукопожатиях). Для любого графа сумма степеней вершин равна удвоенному числу ребер:

.

Доказательство. При подсчете суммы степеней вершин произвольное ребро внесет вклад, равный 1, как в степень вершины , так и в степень вершины , т.е. будет учтено в сумме дважды. ■

Пример 2. Выяснить, существует ли граф со следующим набором степеней вершин:

а) 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5; б) 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3.

◄ а) Предположим, что такой граф существует. Тогда, согласно утверждению леммы о рукопожатиях, сумма степеней его вершин равна удвоенному числу ребер, т.е. , откуда . Но это невозможно, так как число ребер не может быть дробным. Полученное противоречие показывает, что предположение о существовании графа с указанным набором степеней вершин было неверным.

б) Если граф с набором степеней вершин 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3 существует, то он, согласно лемме о рукопожатиях, имеет 7 ребер (, откуда ). Действуя методом проб, несложно подобрать примеры таких графов (диаграммы двух из них изображены на рис. 3.3 и 3.4). ►

Рис. 3.3.	Рис. 3.4.