Лекция 10

§ 3.2. Достижимость и компоненты связности, циклы и мосты, цикломатическое число

Пути, цепи, циклы на графе. Отношение достижимости (связности). Компоненты связности графа. Число связности. Связный граф. Мост. Цикломатическое число.

Базовые понятия и утверждения

1. Пути, цепи, циклы на графе. Путем длины на графе из вершины в вершину называется такая последовательность

вершин и ребер графа, в которой .

Путь из в обозначают и говорят, что он соединяет вершину с вершиной . Вершины и называют соответственно началом и концом пути.

Кроме того, каждую вершину считают путем длины нуль.

Если , то путь называется замкнутым.

Заметим, что в обыкновенном графе путь полностью определяется последовательностью своих вершин.

В произвольном пути любое ребро и любая вершина могут повторяться. Накладывая ограничения на число повторений вершин и ребер, приходим к следующим частным видам путей.

Цепь - это путь без повторяющихся ребер. Цепь, соединяющую вершину с вершиной , обозначают .

Цепь называется простой, если в ней нет повторяющихся вершин, за исключением, быть может, совпадающих концевых.

Замкнутая цепь ненулевой длины называется циклом.

Замкнутая простая цепь называется простым циклом.

Рис. 3.14.

Пример 1. Рассмотрим граф на рис. 3.14.

- путь из в ; его длина равна 4; данный путь является цепью; эта цепь незамкнутая и не простая.

- цикл длины 5, этот цикл не является простым;

- простой цикл.

Лемма (о простой цепи). Если на графе существует путь из в , то существует и простая цепь, соединяющая вершины и .

Доказательство. Рассмотрим на графе путь наименьшей длины из в . Покажем, что этот путь является простой цепью. Будем рассуждать от противного. Пусть в нашем пути имеется повторяющаяся вершина . Тогда, заменив часть пути от первого вхождения вершины до ее второго вхождения на одну вершину , мы получим более короткий путь из в . Получили противоречие. ■

2. Достижимость и компоненты связности графа. На множестве вершин графа введем бинарное отношение - отношение достижимости (связности) (~), образованное всеми теми парами вершин , для которых на графе есть путь из в . Таким образом, запись будет означать, что на графе есть путь из в .

Поскольку мы договорились считать каждую вершину графа путем длины 0 из в , то для любой вершины можно утверждать, что . Это означает, что отношение достижимости рефлексивно.

Очевидно, что если на графе есть путь из вершины в вершину , то есть и путь из в , т.е. если , то и . Значит, отношение достижимости симметрично.

Несложно показать, что отношение достижимости является также и транзитивным, т.е. если и , то и . Иными словами, из существования на графе путей из в и из в следует существование пути из в . Это действительно так, поскольку из пути из в : и пути из в : можно «склеить» путь из в : .

Таким образом, отношение достижимости рефлексивно, симметрично и транзитивно, и, значит, является отношением эквивалентности.

Пусть - произвольная вершина графа . Обозначим через класс эквивалентности вершины по отношению достижимости, т.е. .

Классы эквивалентности по отношению достижимости обладают рядом свойств, присущих классам эквивалентности любого бинарного отношения (см. теорему 1.1), а именно:

1) класс эквивалентности любой вершины по отношению достижимости - непустое множество;

2) классы эквивалентности любых двух вершин по отношению достижимости либо не пересекаются, либо совпадают;

3) объединение классов эквивалентности всех вершин графа по отношению достижимости совпадает с самим множеством вершин графа.

Вследствие перечисленных свойств отношение достижимости, заданное на множестве вершин графа , порождает разбиение множества на классы эквивалентности по этому отношению.

Определение. Подграф , порождаемый классом эквивалентности вершины по отношению достижимости, называют компонентой связности вершины .

Другими словами, компонента связности вершины представляет собой подграф графа с множеством вершин и множеством ребер, элементами которого являются все те ребра графа , концы которых лежат в .

Компоненты связности графа обладают следующими свойствами:

1) каждая компонента связности - непустой подграф;

2) компоненты связности любых двух вершин либо не пересекаются, либо совпадают;

3) объединение компонент связности всех вершин графа совпадает с самим графом.

Вследствие перечисленных свойств совокупность всех различных компонент связности графа образует его дизъюнктное разбиение.

Определение. Число различных компонент связности графа называется числом связности и обозначается .

Если , то граф называется связным. Иными словами, граф связный, если любая пара его вершин соединена путем.

Пример 2. Рассмотрим граф с вершинами и ребрами , , , (рис. 3.15).

Рис. 3.15.

Перечислим классы эквивалентности вершин графа по отношению достижимости:

, , .

Таким образом, имеем три различных класса эквивалентности и, соответственно, три компоненты связности:

, где , ;

, где , ;

, где , .

3. Мосты и циклы графа. Ребро графа называется мостом, если .

Напомним, что - это граф, получающийся из графа удалением ребра (концы ребра при этом не удаляются).

Пример 3. У связного графа , представленного диаграммой на рис. 3.16, мостами являются ребра , , . Действительно, при удалении каждого из этих ребер получается граф, число связности которого равно 2, что на единицу больше числа связности графа .

Если же удалить из графа ребро (равно как и или ), то получится граф, у которого, так же как у графа , одна компонента связности.

На рис. 3.17 приведена диаграмма графа , полученного из графа удалением ребра .

Рис. 3.16.		Рис. 3.17.

Рис. 3.18.

Далее, если из графа удалить ребро , то получится граф (рис. 3.18), число связности которого равно 3, т.е. и в этом случае число компонент связности увеличивается на единицу.

Перечислим свойства мостов:

1. Если ребро - мост графа , то , т.е. при удалении моста число связности графа увеличивается ровно на единицу (теорема о мостах).

2. Ребро графа является мостом тогда и только тогда, когда оно не содержится ни в одном цикле (теорема о мостах и циклах).

Доказательства этих теорем приведены во второй части параграфа.

4. Цикломатическое число графа. Число называется цикломатическим числом графа .

Например, цикломатическое число графа из примера 2 равно , а цикломатические числа его подграфов равны соответственно , , .

Цикломатическое число обладает следующими свойствами:

1) цикломатическое число любого графа неотрицательно, т.е. (теорема о знаке цикломатического числа);

2) цикломатическое число любого графа равно сумме цикломатических чисел его компонент связности, т.е. если , , …, - все компоненты связности графа , то .

Доказательство этих утверждений приведено во второй части параграфа.