Этот документ содержит примерные планы практических занятий (семинаров) модуля 2 и может быть полезен тем студентам, кто пропустил то или иное практическое занятие и хочет восполнить пробелы в знаниях и умениях путем самостоятельных занятий.
Практическое занятие № 9
Тема: «Первичные понятия теории графов. Компоненты связности. Циклы и мосты на графе»
Обсуждаемые понятия, утверждения, алгоритмы
Граф, его вершины и ребра. Смежные вершины. Кратные ребра, петли. Инцидентные вершины и ребра. Степени вершин. Висячие и изолированные вершины. Лемма о рукопожатиях. Диаграмма графа. Изоморфные графы. Специальные виды графов: обыкновенные, полные, двудольные, полные двудольные графы. Матрица смежности и матрица инцидентности. Подграф. Операции над графами: объединение, пересечение, декартово произведение.
Учебная литература, используемая на занятии
1. Олейник Т.А. Основы дискретной математики: теория и практика. – М.: МИЭТ, 2010
2. Клюшин А.В., Кожухов И.Б., Олейник Т.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: МИЭТ, 2008.
Теоретические сведения
Теоретические сведения и примеры решения типовых задач базового уровня приведены Л1. § 3.1, § 3.2.
Краткое изложение теории есть в Л2. Глава 3, п. 1, 2, стр. 44, 45, 49, 50.
Следует обратить внимание студентов на то, что в математической литературе имеет место разночтение терминов. В частности, объекты, которые в Л1 называются графами, в Л2 называются обобщенными графами, а объекты, которые в Л1. называются обыкновенными графами, в Л2 называются просто графами.
Часть 1. Освоение материала на базовом уровне
|
Задачи, которые на семинаре решаются на доске под руководством педагога | ||
|
№ |
Обязательные задачи |
Дополнительные задачи |
|
1. |
Неориентированный граф: понятие и характеристики | |
|
|
1.
Дан граф
а) построить диаграмму графа; б) классифицировать элементы графа; в) привести примеры путей, цепей, циклов, простых циклов на графе; г) найти компоненты связности графа и задать их по определению (множеством вершин и ребер); д) перечислить мосты графа; е) найти цикломатическое число графа. |
|
|
2. |
Изоморфные графы | |
|
|
2.
Построить диаграмму графа
Привести как можно больше обоснований этого факта. 3. Изобразить с точностью до изоморфизма все обыкновенные графы: а) с тремя вершинами; б) с четырьмя вершинами. Для каждого из графов указать число компонент связности и цикломатическое число. 4. Л2. 3.55 (а, б). Студенты приведут несколько вариантов графов п. б), определить, есть ли среди них изоморфные. 5.
а) Построить диаграммы полных
графов
б)
Построить диаграммы полных двудольных
графов
|
Л2. |
|
3. |
Задание графов матрицами смежности и инцидентности | |
|
|
6.
Построить матрицы смежности
инцидентности для графа: а)
7. Л2. 3.7 (а). 8. Л.2 3.4 (а) |
Л.2. 3.3 (а), 3.4 (в). |
|
4. |
Операции над графами | |
|
|
9.
Рассмотрим граф
а)
10.
а) Даны графы
б)
Построить диаграммы графов
|
|
|
Задачи, которые на семинаре решаются каждым самостоятельно | ||
|
|
11. Л2. 3.7 (г), занумеровать ребра этого графа и выписать матрицу инцидентности, найти число компонент связности, назвать мосты, найти цикломатическое число. |
|
|
Домашняя работа | ||
|
Л-2:
№.3.1 (а, б, г, е), 3.2 (для пунктов а, б, г, е
№ 3.1), 3.3(б)-3.6(б), 3.8(б), 3.15(в), 3.56 (б, д),
построить диаграмму графа
| ||
,
где
,
.
,
где
,
Доказать,
что граф
(п. 1) не изоморфен графу
.
,
,
,
,
.
Привести несколько примеров графов,
не являющихся полными.
,
,
,
.
Привести несколько примеров двудольных
графов с 5, 6, 8 вершинами, не являющихся
полными.
;
б)
(п. 2)
,
где
,
,
и два его подграфа
,
где
,
и
,
где
,
.
Найти и задать диаграммой:
,
б)
,
в)
,
г)
.
,
где
,
и
,
где
,
.
Изобразить диаграмму графа
.
,
,
.
Как построенные графы связаны с графами
?
,
3.31, 3.32 (два последних номера на понятия,
которые нужно усвоить самостоятельно,
прочитав определение в задачнике).