37. Теорема Муавра-Лапласа

Пусть – число усп-ов вn исп. Б. с вер-ю успеха и неудачи. Тогда

Справедливо представление , где- индикатор,. Отсюда, применив ЦПТ, докажем требуемое.

Из этой теоремы следует, что при , приближенно справедливо

Так же отсюда следует, что с ростом числа n биномиальное распределение приближается к нормальному, несмотря на то, что первое СВДТ, а второе – СВНТ

38. Мс. Основные понятия.

Предмет МС – изучение случ. яв-ий посредством обработки и анализа рез-ов наблюдений и измерений

СВ Х будем называть генеральной совокупностью(ГС) Х

Набор – случайная выборка объемаn из ГС

-получен в рез-те n-кр. повт. одного и того же опыта, реализация случ. выб-ки

В основе МС – выборочный метод, св-ва ГС устанавливаются на основе св-в случ. выб-ки

Первичная обработка:

1)Вариационный ряд

2)Статистический ряд

3)Интервальный статический ряд

39. Эмпирич. Ф-ия распр-ия

-значения статистич. ряда

-количество значений выборки, удовл.

–ЭмпФР

Очевидно присоотв-но.

Гистограмма – график эмп. пл. р-ия

–пром. разб-я

Используют также выборочную ф-ия распределения. Все аналогично, вместо исп-т

Очевидно, эмпир. ф-ия есть реализация ф-ии выборочной.

Сх. Бер-ли. Успех – ==true.

Тогда – ЧУ вn исп-ях с

Исп-м ЗБЧ в форме Бернулли:

Для СВДТ отн. част. сх-ся к вер-м

Так же приближенно и для СВНТ

С пом-ю т. Бернулли эмп-ая плот-ть распр-ия дает прибл. пред-ие плот-ти вер-ти ГС: при большомn и малом .

40.Основные распределения.

. Тогда , k степеней свободы.

а),

б)Композиционнаяая уст-ть:

в),

г),

Распри-ие Стьюдента:

Пусть ,

а)

б)

в)р-ие. симм-но,

Распр-ие Фишера:

Пусть независимы. Тогда

а)

б)Квантили:

41.Распр-ие выб. дисперсии

Поскольку , то и. Поэтому. Тогда

. Т.о. , или в станд. виде:.

Распределение исправленной выборочной дисперсии:

Для исправ-ой дисперсии можно доказать:

42.Распр-ие выб-го среднего

. Потому, в силу композиционной устойчивости нормального закона, получаем:

Далее, поскольку линейное преобразование сохраняет нормальный закон распр-ия, то. Перейдя к стандартизированному виду, получаем:

Используем выб. аналог СКО:

Тогда получается соотношение:

43.Распр-ие отношения D 2х ГС

, m изв-ны. Рассмотрим з распр-ия стат-ки:

Можно записать:

Откуда:

Мат. ожидания неизвестны. Отношение испр-ых выб. дисперсий:

Имеют место аналогичные соотношения:

44.Точечные оценки параметров

Точечная оценка параметра называется статистика, реализации которой исп-ся как прибл. значения параметра

Качество характеризуется:

1)Несмещенность:

Ассимптотическая несмещенность:

Показывает точность «в среднем»

2)Состоятельность:

Если с ростом n она сходится по вер-ти к этому параметру:

3)Эффективность:

Если , при том несмещенная, что для, то– эффективная.

45.Несм-ть выб. дисп и среднего.

Т.к. выборочные D X и Y равны, то

. Получим:

-Смещ-ая

Однако, обладает асимпт-ой несм.

Несм-ть среднего:

Поскольку распр так же, как ГС,

, что означает несмещнность среднего как оценки этого момента.

46.Несм-ть выб. дисп.

Исправленная выборочная дисперсия при неизвестном m:

Рассуждая аналогично, как и для для не исправленной, получаем несмещенную оценку:

Т.о. исправленная выборочная дисперсия является несмещенной оценкой

47.Состоятельность

Начальные и центральные моменты 1-го и 2-го порядка являются состоятельными оценками ГС.

Док-во для выборочного среднего:

-состоятельная оценка МО для ГС Х с конечной дисперсией.

Условие состоятельности

непосредственно следует из закона больших чисел.

Состоятельность этой оценки, в конечном счете, обеспечивается тем, что

.

Так же несложно доказать, что если статистика является асимптотически несмещенной и ее дисперсия схходится к нулю, то она состоятельна.

48.Эфф-ть выб-го среднего.

Пусть . Исследуем эффективностьдля оценкиm

. Найдем правую часть неравенства Крамера-Рао:

Правая часть неравенства равна:

, т.е. совпадает с левой частью. Таким образом выборочное среднее эффективно оценивает маетматическое ожидание нормальной генеральной совокупности Х.

49.Метод макс. правдоподобия

Пусть закон распр-ия генеральной совокупности описывается , илигде– вектор неизвестных параметров.

Функция правдоподобия(ФП):

Требуется найти , доставляющий максимум ФП при фикс.. Можно исп-ть логарифм ФП. Уравнения правдоподобия(c ln):

Пример: . ММП оц.= ?

. <Вывод>

51.Метод моментов

Пусть закон распр-ия генеральной совокупности описывается , илигде– вектор неизвестных параметров.

Определим r моментов(СВНТ):

Аналогично для . Приравнявr найденных теор. мом-ов к вы-ым получим систему для :

Пример.

Получаем:

. Т.е. ММ-оценки:

-выборочное СКО

52.Интервальные оценки.

Доверительным интервалом называется интервал , накрывающий истинное значениес заданной вероятностью, кот. называется доверительной вер-ю, где-уровень значимости.

Практический смысл имеет

Алгоритм:

1)Задать или

2)Выбрать статистику с изв-ым зак-ом расп-ия

3)По этому закону найти :

4)Решить неравенства

(5.13)

относительно :, что экв-но 5.13, т.е. вып-ся с вероят-ю

Отсюда по выборке найдем доверительный интервал:

Определение неоднозначно, потому обычно полагают

, где –p-квантиль рас-ия стати. Z, поскольку для симм-ых рас-ий(St(k), N(0,1)) интервал будет наименьшим, а для несим-ых() – бликим к минимальному.