14. Свдт.
СВ – дискретна, если мн-во ее возможных значений конечно или счетно.
Ряд распределения – таблица, в верхней строке кот расп. все возможные значения СВ по возрастанию, а во второй строке – соотв. им вер-ти
Св-ва:
(усл.
нормировки)
2)
=
Из 2-го следует связь с ф-ей распределения СВДТ:
Т.е.
ф-ия
является кусочно-постоянной и непрерывной
слева; при
она равна нулю и в точках
терпит разрывы первого рода.
15. Свнт.
СВ
Х – непр., если
=
,
где
– неотрицательная кусочно-непрерывная
функция, называемая плотностью
распределения.
Основные
св-ва
:
1)
2)
=
Док-во (2):
=
=
.
В более общем виде:
3.
поскольку
-непрерывна,
и
4)
=1
(нормировка)
5)
в т. непр.
16. Случайные векторы.
Пусть
в одном и том же вер-ом пр-ве заданы n
случайных величин. Упоряд. совок-ть
величин
-
n
мерная случайная величина или вектор.
Функция
– функция распр. случайного вектора.
Рассмотрим двумерный случай. Геометрический смысл F(x, y) – вероятность попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной x,y и исключенными границами.
Св-ва(доказ. как для 1-м случая):
1) F(x,y) по каждому аргументу не убывает и непрерывна слева
2)F(
,
y)=F(x,
)=F(
,(
)=0
3)F(+
)=1
4)
Случ. вектор дискр, если его компоненты дискретны.
Случ вектор непрерывен, если его компоненты непрерывны.
Все свойства для СВНТ и СВДТ аналогичны одномерному случаю.
17. Зависимые и независимые св
СВ
X
и Y
незав-мы, если для
событий {
,
{
P{
,
=
Полагая
Получим
Для
СВДТ:
Для
СВДТ:
Услов. закон распр. одной из компоненты (X,Y) – закон, при кот. вторая комп-та фиксирована. Формы представления:
1)Условная ф-ия распределения:
2)Условн. ряд рас-ия: ряд рас-ия, в кот сод условные вер-ти
Аналог теоремы умножения:
3)Условная плотность вер-ти:
Так же аналог т. умн-ия:
18. Математичесое ожидание
Ряд или инт-л должны сх-ся абс-но
Свойства:
1)X=c, то M[X]=c
2)M[cX]=cM[X], c = const
3)M[X+Y]=M[X]+M[Y]
4)M[XY]=M[X]M[Y], X,Y независимы
Док-ва (X-СВДТ):
1)
M[C]=cP{X=c}=c
=c
2)=
3)СВектор
(X,Y),
X+Y=
с
вер-ю
.
4)M[XY]=
19. Начальные и центр. моменты
Начальный момент k-го порядка:
Центральный момент k-го порядка:
Можно записать:
20. Дисперсия.
Д – центр. момент 2-го порядка:
D[X]
– числ. хар-ка рассеивания Х вокруг ее
ср. значения
Св-ва:
1)X=c
.
Очевидно
2)D[X]
т.к.
3)D[cX]=c2D[X].
4)
5)D[X+Y]=D[X]+D[Y], X,Y независимы
Док-ва 3-5:
3)
4)
=
=
=
5)
21. Ковариация
Св-ва:
1)
2)
3)
4)
,
еслиX,Y
незав-мы
5)
;
6)
7)
,
.
Докажем 7-ое:
.
т.е. он неотр. при
Сл-но
дискриминант
С равенством аналогично, используем еще 1ое св-во дисперсии(и вместо с подставляем b)
22. Корреляция
если
величины некоррелированы.
Св-ва:
1)
– из 7-го св-ва ковариации
2)Если
X,Y
независимы, то
.
Если
,
то зависимы.
3)
)
Тогда и только тогда, когда
23. Функции регрессии
Условное МО(выч. при X=x):
Для СВНТ:
Условное
МО
,
рассм-ое как ф-ия х – регрессияY
на Х. Функции регрессии описывают
«усредненную» зависимость одной из
компонент случайного вектора от
значения, которое приняла другая.
По аналогии с условными МО можно рассматривать условные моменты.
24. Биномиальное распределение
,
если она принимает значения x=0,..,n
и
;
Нормировка(б.
Ньютона):
X
описывает число успехов в n
испытаниях Бернулли. Введем индикатор:
,
тогда получим
.
Осн-ые хар-ки:
Мода
Х удовлетворяет
25.Распределение Пуассона.
Теорема.
Если
,
то
,
если
.
Ряд Тейлора:
,
Данное распределение адекватно описывает число появлений маловероятного события в большой серии испытаний.
(Предельный
случай бином-ого распределения)
Мода
Х удовлетворяет
26.Равномерное распределение
СВНТ
,
если
Вер-ть
попадания в
:
Таким образом, в одномерном случае получаем геометрическую схему.
27.Показательное распределение
,
если
,
,
Главное применение – моделирование случайного времени Х до отказа устройств. Поскольку по нему вер-ть того, что устр-во откажет в течение времени t не зависит от того, какое время Т оно до этого находилось в работе. Докажем:
.
Надем P(A|B):
.Таким
образом:
,
т.е. вероятность того, что устройство
откажет в течении времени t
не зависит от того, какое время Т оно
до этого находилось в работе.
28.Нормальное распределение
,
если
m
– свдиг графика,
– расширение по Ох, сужение по Оу
не
выражается эл-ми ф-ями
–станд.
норм. величина
Ее ф-ия распр-ия(ф-ия Лапласа)
Она
табулирована для
,
т.к.
Связана
с
:
Поэтому
.
Вер-ть того, что отклонение величины от ее МО будет меньше l>0. При a=m-l, b=m+l получим:
29.2-м равном и норм. распр.
Равномерное
(X,Y)
равном. распр в
,
если
Нормальное
(X,Y)
имеет двумерное нормальное распр-ие с
,
,
если
По двумерному закону распределения найти законы распределения его компонент:
30.Функции 1-м СВ
.
СВ
– функция СВ Х
.
Если
X-СВДТ,
то
строим
ряд распределенияY.
Если
X
– СВНТ и y’(x)
– возр., то
и
.
Аналог-но для убыв.
Пусть
F
дифф.
для
возр. Для убыв будет «-». Объединяя:
Обоб. на кус-мон. – суммой.
МО:
Пусть X
– СВДТ, приним.
с вер-ми
.
Тогда
Аналогично для СВНТ:
Для дисперсии и ост. моментов такое тоже справедливо.
31.Функции случайных векторов.
,
(X,Y),
– ф-ия сл. вектора (X,Y)
Пусть
(X,Y)-СВДТ,
тогда
Если(X,Y)-СВНТ,
то
,
В
точках дифф-ти
:
Если
Z=X+Y,
то
(нарис.)
…
Последний
интеграл называется сверткой
функций плотности и обозначается
32.Композиционная устойчивость
Если X,Y независимы, Z=X+Y распр по одному закону с X,Y, то он композиционно устойчив.
Нормальный
закон комп-но устойчив(
Если
независимы, то
.
Т.е. биномиальный закон устойчив при
фиксированномp.
,
то
Композиционно устойчивые законы представляют меньшинство. Например R(a,b) не устойчив.
33.Неравенства Чебышева.
1)Пусть
Х- СВ,
.
Тогда
Для
произв.
Очевидно,
,
потому
.
Разделим
на
2)X
– СВ с конечными
и
:
Из
и 1-го нерав-ва:
Это оценки сверху. Переходя к противоположным события можно получить оценки снизу:
Посл-ть
величин
сх-ся по вероятности к а
,
34.Закон больших чисел.
К
прим-им
ЗБЧ, если
(сх-ть
по вер-ти к 0) (3.6)
Выполнение ЗБЧ - устойчивость ср. арифм. случайных величин
ЗБЧ в формулировке Чебышева:
поп-но
нез-мы,
и
,то
применим ЗБЧ
.
Записываем 2-ое н. Чебышева:
(*)
Переходя в (*) к пределу и заменив обратно Y, докажем.
Следствие:
поп-но нез-мы, одинаково распр.,
.
Тогда:
(3.8)
В
данном случае выполняется требование
для ЗБЧ в ф-ке Чеб-ва, т.к.
=
0
применим ЗБЧ
А
т.к.
,
то (3.6) принимает вид (3.8)
35. ЗБЧ в форм-ке Бернулли
–число
успехов в n
испытаниях Б. с вер-ю успеха p
Тогда
Т.к.
(n,p),
поэтому
,
где
- инд-р успеха и
Применив
следствие из формулировки Чебышева
ЗБЧ к последовательности
,
получаем утверждение настоящей теоремы.
36. Центральная пред-ая теорема
ЦПТ дает объяснение того факта, что нормальное распр-ие играет особую роль в мат. мод-ии случайных явлений.
В формулировке Ляпунова:
Пусть
СВ
удовлетворяют условиям:
а)
независимы
б)
одинаково распр.,
в)сущ-т
дисперсии
Тогда
,
где
-функция
Лапласа
Из
ЦПТ следует, что при возрастании n
функция распр-ия СВ
приближается к ф-ии распр-ия стандартного
нормального законаN(0,1)
Более общие формулировки связаны с исключением пункта б) за счет усложнения пункта в)
Учитывая это, можно сказать, что ЦПТ доказывает, что нормальный закон возникает в ситуациях, когда наблюдаемое случайное явление порождено совместным действием большого числа независимо действующих случайных факторов.