9. Исследование и построение графиков функций
Исследовать и построить графики функций. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9.1. y = |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
9.2. y = (x2 + x) e− x . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x2 − 2x −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9.3. y = |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
9.4. y = |
|
|
|
x2 |
|
. |
|
|
|||||
9x2 − 4x3 − 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x2 − x − 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
9.5. y = |
x3 + 2x2 |
|
|
|
|
|
|
9.6. y = |
ln(x2 −1) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −1 |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9.7. y = (x2 − 2x −1)ex . |
|
9.8. y = |
|
2x +1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1) |
|
|
|
|
||||||
9.9. y = x + arcctg2x . |
|
9.10. y = ln(sin x) + x . |
|||||||||||||||||||||||||
9.11. y = |
x2 − 3x + 2 |
. |
|
9.12. y = 2x + ctg x . |
|
||||||||||||||||||||||
x2 |
+ 3x + 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
9.13. y = |
|
|
x + 2 |
|
|
. |
|
|
9.14. y = |
|
x2 + 3x +1 |
. |
|||||||||||||||
|
2 |
− 3x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9.15. y = |
x3 |
+ 2x2 + 7x − 3 |
. |
9.16. y = |
|
|
|
x3 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
x2 − 3x + 2 |
|||||||||||||||||||
9.17. y = |
10×3 (x -1)2 |
. |
|
9.18. y = |
|
|
x3 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
9.19. y = |
|
ex |
|
|
|
|
|
|
9.20. y = |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
x2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x −1 |
|||||||||||||||||||
9.21. y = x ×ln2 x . |
|
|
|
|
|
|
9.22. y = (0,2)1/( x2−9) . |
|
|||||||||||||||||||
9.23. y = |
x2 |
− ln x . |
|
|
|
|
|
|
9.24. y = |
ex |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
9.25. y = 2 − ln x . |
|
|
|
|
|
|
9.26. y = (x −1)ln(x −1) . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.27. y = |
|
|
|
x3 |
|
. |
|
9.28. y = |
21/(x |
2 |
−1) . |
|
|
|
|||||||||||||
x2 |
− 6x + 8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9.29. y = x3 - ln x .
3
1
9.31. y = ex2 −4x+3 .
9.33. y = x − 2arctg x .
9.35. y = 1+ ln x . x
9.37. y = 3
x2 (x2 − 4)3 .
9.39. y = (x2 − 3x) e− x .
1
9.41. y = 2x 2 −6x+5 .
9.30.y = x2 + 3x +1 .
x2 − 2
9.32. y = 3
(x +1)2 − 3
x2 +1.
9.34. y = x + lncos x .
9.36.y = x2 + 2x + 4 .
x2 −1
9.38. y = − 3x + 3
x .
9.40.y = (x −1)2 .
x2 +1
9.42.y = x2 + x +1 .
x2 − 2x +1
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
1
9.43. y = 3−x2 +6x−5 .
9.45. y = |
ex |
|
. |
|
x2 −1 |
||||
|
|
|||
9.47 y = xln x .
9.49. y = 3
x2 ×(x +1)3 .
9.51. y = |
x |
|
|
. |
|
x2 + 2x − 5 |
||
9.53.y = x3 − 3x2 + 3x +1 .
x−1
|
|
|
|
|
|
|
9.55. y = |
|
x2 +1 − x2 −1 . |
||||
9.57. y = |
|
ex |
. |
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
9.59y = x3 − 3x2 + 3x +1 .
x− 2
9.61. y = x3 ×3
(x -1)2 .
9.63. y = |
ex |
|
|
. |
||
x2 −1 |
||||||
|
|
|||||
9.65. y = |
ex−2 |
|
. |
|
||
x −1 |
|
|||||
|
|
|
|
|||
9.67. y = (x2 + 2x + 3)e−( x+1)2 .
1
9.69. y = ex2 −2x .
9.71. y = 3
x2 − 3
(x −1)2 +1. 9.73. y = x +1− 2arctg x .
9.75.y = 1+ ln(x −1) .
x−1
9.77. y = |
|
|
e2x |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
4x2 −1 |
|||||||
9.79. y = |
|
|
(x -1)2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 - 3x -1 |
||||||||
9.81. y = 3 |
|
×e1− x . |
|||||||
x +1 |
|||||||||
|
1 |
|
|
||||||
9.83. y = (x +1)e |
|
|
. |
||||||
x+1 |
|||||||||
9.85. y = |
|
|
x3 |
||||||
|
|
. |
|||||||
|
(x − 2)2 |
||||||||
9.87. y = ln x + 2arctg x . 9.89. y = (2x +1)e−2x .
9.44. y = |
1− ln(x −1) . |
|||
|
|
x −1 |
||
9.46 y = |
|
e− x |
. |
|
x + 2 |
|
|||
|
|
|
||
9.48. y = x2 ln x . |
||||
9.50. y = ln x − 2arctg x . |
||||
9.52. y = |
|
x −1 |
||
|
|
. |
||
|
x2 − 3x + 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.54. y = 3 (x +1)2 |
+ 3 (x −1)2 . |
|||||||||
9.56. y = |
|
|
x −1 |
|
|
. |
||||
|
x2 + 2x + 2 |
|||||||||
9.58. y = |
|
|
x - 2 |
. |
|
|
|
|||
x2 - 8x + 9 |
|
|
|
|||||||
9.60. y = |
1− ln(x −1) . |
|||||||||
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
||
9.62. y = |
|
|
(x −1)3 |
|
. |
|
|
|||
|
x2 − 2x − |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
9.64. y = |
|
e− x+1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.66. y = arctg x − 12 ln(1+ x2 ) .
9.68. y = ln x +x 2 +1 .
9.70. y = (x + 2)e− x .
9.72. y = (x2 + 3x +1)e−( x+1) . 9.74. y = (x2 − 2)e( x−1) .
9.76.y = ln(x2 + 2x) .
x2 + 2x
9.78. y = (x2 |
− 2x + 2)e−( x−1)2 . |
||||||||||
9.80. y = e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 −4 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
9.82. y = arccos |
|
2x − x2 |
. |
||||||||
x2 − 2x + 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.84. y = ln( |
x + 3 |
) . |
|
|
|||||||
|
|
|
x + 3 |
|
|
||||||
1/(x2 −6x+5) |
. |
|
|||||||||
9.86. y = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.88. y = ln |
|
|
x |
- 2 . |
|
||||||
x |
- 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9.90. y = (x2 − 3x)e− x .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Исследовать и построить графики параметрически заданных функций.
9.91.ìíx = cost + t sin t,
îy = sin t - t cost.
(эвольвента круга)
9.93.ìíx = 2cost - cos 2t,
îy = 2sin t - sin 2t.
(кардиоида)
9.95. |
ì |
2 |
, |
|
|
íïx = 3t |
|
3 |
|
||
|
ï |
|
|
. |
|
|
îy = 3t - t |
|
|||
9.97.ìíx = 4cost + 2cos 2t,
îy = 4sin t - 2sin 2t.
(гипоциклоида)
9.99. |
ì |
|
5 |
t, |
íïx = cos |
|
|||
|
ï |
5 |
t. |
|
|
îy = sin |
|
|
|
ìx = 2t - 3sin t,
9.101. í
îy = 2 - 3cost.
(укороченная циклоида)
|
ì |
1 |
, |
|
|
|
ïx = t + |
t |
|
||
9.103. |
íï |
|
|
||
|
ïy = t + |
|
1 |
. |
|
|
|
||||
|
ï |
|
t |
2 |
|
|
î |
|
|
|
|
9.105. íìx = 2cht, |
|||||
|
îy = sht. |
|
|
||
9.107. íìx = 4t - 3sin t, |
|||||||||||||||
|
îy = 4t - 3cost. |
||||||||||||||
9.109. |
ì |
1,8cos |
3 |
t, |
|
||||||||||
íïx = |
|
|
|||||||||||||
|
ï |
|
2,25sin |
3 |
t. |
||||||||||
|
îy = |
|
|
||||||||||||
(эволюта эллипса) |
|
||||||||||||||
9.111. |
ì |
|
|
|
t |
|
cost, |
|
|
|
|||||
íïx = e |
t |
|
|
|
|
||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
sin t. |
|
|
|
||||||
|
îy = e |
|
|
|
|
|
|||||||||
9.113. |
ì |
3(t |
2 |
+1), |
|
||||||||||
íïx = |
|
|
|||||||||||||
|
ï |
|
|
3 |
- 3t. |
|
|
|
|||||||
|
îy = t |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ì |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||
|
1+ t |
3 |
|
|
|
||||||||||
9.115. íï |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ïy = |
|
|
|
|
t2 |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
ï |
|
1+ t |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ìx = t + 1,
9.117. ïí t
ïïy = t2 + 2 . î t
|
ì |
|
1+ t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ïx = |
|
|
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9.92. |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
í |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ïy = |
|
|
- |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ï |
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9.94. íìx = 3cost - cos3t, |
|
||||||||||||||||||||||||
|
îy = 3sin t - sin 3t. |
|
|||||||||||||||||||||||
(эпициклоида) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9.96. |
ì |
|
|
|
2 |
|
-1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
íïx = t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
-1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
îy = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
t |
ö |
||
9.98. |
ïx = cost + lnç tg |
|
|
÷, |
|||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy = sint. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(трактриса) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ìx = t2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9.100. íï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ïy = t - |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.102. |
ìx =1- t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
íï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ï |
= |
1- t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9.104. |
ì |
= |
|
5cos |
2 |
|
t, |
|
|
|
|||||||||||||||
íïx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ï |
= |
|
3sin |
2 |
|
t. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9.106. íìx = 3cost, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
îy = 2sin t. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9.108. |
ì |
= |
|
2t - t |
2 |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
íïx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ï |
= |
|
2t |
2 |
|
|
- t |
3 |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9.110. |
ì |
= cos |
4 |
|
t, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
íïx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
ï |
= sin |
4 |
|
t. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9.112. |
ì |
= |
|
2t |
6 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
íïx |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ï |
= |
|
8 - t |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9.114. |
ì |
= t |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
íïx |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ï |
= t - |
3t |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9.116. íï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
æ |
|
|
t |
|
|
|
|
|
ö2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
ïy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
è t +1ø |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9.118. |
ì |
= t |
4 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
íïx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ï |
= e |
2t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
9.119. |
ìx = ln(1+ t), |
9.120. |
ìx = ln t, |
||||
íï |
3 |
|
íï |
5 |
|
||
|
ï |
+ 4. |
|
ï |
. |
||
|
îy = t |
|
|
îy = t |
|
||
Построить графики функций, заданных в полярной системе координат.
9.121. ρ = 2ϕ . |
9.122. ρ = 4(2 + cosϕ) . |
(спираль Архимеда) |
(улитка Паскаля) |
9.123. ρ = 2cosϕ . |
9.124. ρ = 3sin ϕ . |
9.125. ρ = sin5ϕ . |
9.126. ρ = 2cos4ϕ . |
9.127. ρ = 3 + cos4ϕ . |
9.128. ρ = 2 − cos4ϕ . |
9.129. ρ = 2 + cos2ϕ . |
9.130. ρ = 2 + sin ϕ . |
9.131. ρ = 2sin 3ϕ . |
9.132. r = 2e3ϕ . |
9.133. r = j2 .
9.135. ρ = 3cos5ϕ. 9.137. r = coscos2jj .
ϕ
9.139. r = 22π .
9.141. r = 2 .
1+ 0,5cosj
(эллипс)
9.143. r = 3cos3 j3 . 9.145. ρ = 3 + cosϕ. 9.147. ρ = 2tgϕ.
9.149. ρ = 2cosϕ + 4sin ϕ .
9.134. ρ = 2(1− sin ϕ) . 9.136. ρ = sin 4ϕ .
9.138. r = |
|
j |
|
. |
|
|
j +1 |
||||
|
|
|
|
||
9.140. r = |
2 |
|
. |
||
|
1- cosj |
||||
(парабола) |
|
|
|||
9.142. ρ = 2(cosϕ + sin ϕ) .
9.144. r = 4sin4 j4 .
9.146. r = sin j . cos2 j
9.148. r = cos3 j . 9.150. r = sin2j .
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданных отрезках.
|
|
|
e−x |
|
|
|
|
|
|
|||
9.151. |
y = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
[0;2]. |
||
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
||||||
9.152. y = xarctg x , |
[−1;2] . |
|||||||||||
9.153. y = ex sin x , |
|
|
[0;2π] . |
|||||||||
9.154. y = x + 1 |
, |
|
|
|
[0,5;2] . |
|||||||
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|||||
9.155. |
|
|
|
|
|
|
cos2x , |
|
||||
y = cos x + |
|
|
[0;2π] . |
|||||||||
2 |
||||||||||||
9.156. y = arctg x - |
1 |
ln(1+ x2 ) , |
[0;2] . |
|||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|||||
9.157. |
y = |
, |
|
|
|
[−2;3]. |
||||||
1+ x2 |
|
|
|
|
||||||||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
9.158. y = x2 - 3x + 2 , x2 + 2x +1
9.159. y = x3
x −1 , 9.160. y =| x | e−|x−1| , 9.161. y = x2x+1 ,
9.162. y = |
|
|
x - 2 |
ln(x - 2) , |
|||||||||||||||||||||
9.163. y = x2ex , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9.164. y = cos 2x + |
|
1 |
cos 4x , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
9.165. y = |
|
|
|
|
2x − 2 |
|
|
|
, |
||||||||||||||||
x2 − 2x + |
2 |
||||||||||||||||||||||||
9.166. y = (x +1)3 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||
9.167. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = arctg x − |
|
ln(1+ x2 ) , |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.168. y = sin4 x + cos4 x , |
|||||||||||||||||||||||||
9.169. y = |
|
|
|
sin x |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
+ cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9.170. y = sin x + cos2 x , |
|||||||||||||||||||||||||
9.171. y = arcsin |
|
|
2x |
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
||||||||||||||
9.172. y = |
x2 - 4x + 5 |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9.173. y = (x + 2) ×3 |
|
|
, |
||||||||||||||||||||||
x +1 |
|||||||||||||||||||||||||
9.174. y = |
|
|
|
arcsin x |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9.175. y = 3 |
|
|
|
|
e−x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9.176. y = x2e−2x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9.177. y = x ln x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9.178. y = x − arctg x , |
|
|
|||||||||||||||||||||||
9.179. y = x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x2 -1 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9.180. y = |
|
|
|
ln(x +1) , |
|||||||||||||||||||||
|
|
x +1 |
|||||||||||||||||||||||
[0;3] . [0;1] . [−2;1] .
[0,01;100].
[3;12] .
[−3;1] .
[0;π] .
[−1;4]. [−1;3] .
[0;4] .
é |
p |
; |
pù |
|
ê- |
4 |
4 |
ú . |
|
ë |
|
û |
||
[0;2π] .
[0;π] .
[−1;2] .
[2,5;5] .
[−2;1] .
[−0,5;0,5].
[−2;1] .
[0;3] . [0,3;3] . [0;1] . [1;3] .
(0;10] .
9.181. Требуется из жести сделать открытый желоб, имеющий в сечении форму равносторонней трапеции, основание которой и боковые стороны равны 4 дм. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?
9.182. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника данной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?
9.183. Найти кратчайшее расстояние между параболой y = x2 и прямой x − y − 2 = 0 .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
9.184. В данную окружность радиуса R вписать равнобедренный треугольник так, чтобы его площадь была максимальной.
9.185. Рассматриваются всевозможные трапеции, вписанные в окружность радиуса R, такие, что центр окружности лежит внутри трапеции, а одно из оснований равно R
3 . Найти боковую сторону трапеции, имеющей наибольшую площадь.
9.186. Пирамида, основание которой квадрат, вписана в сферу радиуса R. Определить высоту и сторону основания пирамиды, имеющей максимальный объем.
9.187. Даны точки A(0,3) и B(4,5). На оси OX найти точку М так, чтобы расстояние S = AM + MB было наименьшим.
9.188. В конус вписан шар радиуса R. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости основания, при котором объем конуса минимален.
9.189. Через какую точку эллипса |
x2 |
+ |
y2 |
=1 следует провести касательную, чтобы площадь |
|
8 |
18 |
||||
|
|
|
треугольника, составленного этой касательной и осями координат была наименьшей?
9.190. Два парохода движутся прямолинейно под углом 120° с одинаковой скоростью υ км/ч. В некоторый момент времени один пароход пришёл в точку пересечения линий движения, а другой не дошёл до неё a км. Через какое время расстояние между ними будет наименьшим и чему оно равно?
9.191. Корабль A, находящийся на расстоянии 75 км к востоку от корабля B, идёт на запад со скоростью 12 км/ч, корабль B идёт к северу со скоростью 9 км/ч. Через какое время корабли будут наиболее близки друг к другу? Определить наименьшее расстояние.
9.192. Нормандское окно имеет форму прямоугольника с полукругом наверху. Периметр окна равен P. Каково должно быть соотношение между его шириной и высотой, чтобы количество света, пропускаемого окном, было наибольшим?
9.193. Полоса железа шириной a должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму круглого сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на дугу этого сегмента, при котором вместимость желоба будет наибольшей.
9.194. Груз весом P, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть приложенной к нему силой F. Под каким углом α к горизонту нужно направить силу F, чтобы она была наименьшей? Коэффициент трения μ = 0,15.
9.195. В параболе y2 = 2 px провести хорду перпендикулярно оси так, чтобы треугольник, у
которого основанием служит эта хорда, а вершина лежит в заданной точке оси (b, 0), имел наибольшую площадь. (При условии, что хорда лежит между вершиной параболы и точкой
(b, 0)).
9.196. Найти высоту конуса наименьшего объёма, описанного около шара радиуса R.
9.197. Расходы на топливо для топки парохода пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма на 1 км пути будет наименьшей и какова она?
9.198. Три города A, B и С находятся на вершинах прямоугольного треугольника ( Ð С - прямой). Из города А в 12 часов дня вышел пешеход и идёт в С со скоростью 4 км/ч, АС = 25 км. Из города С в город B в 12 часов дня также вышел пешеход и идет со скоростью 3 км/ч. Через сколько времени расстояние между пешеходами будет наименьшим?
9.199. Сечение туннеля имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?
9.200. Найти наибольший объем конуса с данной образующей l.
9.201. В данный круг вписать равнобедренный треугольник так, чтобы сумма квадратов его сторон была наибольшей.
9.202. В равнобедренный треугольник, у которого углы при основании равны α , надо вписать параллелограмм наибольшей площади так, чтобы две стороны совпали со сторонами
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
треугольника, а две другие были им параллельны. Каковы должны быть стороны параллелограмма, если основание треугольника равно a?
9.203. На эллипсе |
x2 |
+ |
y2 |
= 1 найти точку, наименее удалённую от прямой 2x + y −14 = 0 . |
36 |
|
|||
|
25 |
|
||
9.204. Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы должны быть его стороны, чтобы объём конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?
9.205. В эллипс |
x2 |
+ |
y2 |
= 1 вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти эту площадь. |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
9.206. Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найти треугольник с наибольшим периметром.
9.207. Найти высоту конуса наименьшего объёма, описанного около полушара радиуса R = 2 (центр основания конуса лежит в центре шара).
9.208. В равнобедренный треугольник, у которого углы при основании равны 30° , надо вписать параллелограмм наибольшей площади так, чтобы две стороны совпали со сторонами треугольника, а две другие были им параллельны. Каковы должны быть стороны параллелограмма, если основание треугольника равно 4 см?
9.209. Определить размеры закрытой коробки объёма V с квадратным основанием, на изготовление которой используется наименьшее количество материала.
9.210. Найти радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com