3. Пределы
Найти предел последовательности, используя определение предела на ε − n языке. Заполнить таблицу.
ε |
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0,1 |
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0,01 |
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0,001 |
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n(ε) |
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3.1. lim |
3n2 +1 ; |
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3.2. lim |
n3 + 2 |
; |
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n→∞ |
4n2+3 |
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n→∞ 4 - n3 |
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|||||||||||||||||||||
3.3. lim |
2n2 +1 |
|
; |
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3.4. lim 7n3 +1 |
|
; |
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3 - 6n2 |
|
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n→∞ |
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n→∞ 4n3+2 |
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2n4 -1 |
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+ 3 |
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3.5. lim |
; |
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3.6. lim |
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|
n |
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; |
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3 - 5n4 |
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n→∞ |
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n→∞ 2 n +1 |
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3 |
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|
+1 |
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3 |
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|
+ 3 |
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n |
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|
n |
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3.7. lim |
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|
; |
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3.8. lim |
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; |
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||||
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|
- 3 |
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||||||||||||||
n→∞ |
4 |
- 6 n |
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n→∞ 5 |
|
n |
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|||||||||||||||||||||
3.9. lim |
(3n +1) ×sin n |
; |
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3.10. lim |
|
(4n +1) ×sin 3n |
; |
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|||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
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2n2+1 |
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|
n→∞ |
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1+ 5n2 |
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||||||||||||||||||||||
3.11. lim |
( |
|
n |
+1) ×cos n |
; |
|
3.12. lim |
(2 + n) ×cos n |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2n +1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
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|
n→∞ |
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|
3n2 +1 |
|
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3.13. lim |
|
(3 - |
n |
) ×cos 2n |
; |
3.14. lim |
|
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|
3n +1 |
; |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
(1+ 2n)× 2n |
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n→∞ |
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|
2n + 4 |
|
|
n→∞ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
3.15. lim |
sin 2n |
; |
|
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3.16. lim |
cos2 n |
; |
|
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n→∞ |
3n +1 |
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|
n→∞ |
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2n +1 |
|
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|||||||||||||||||||||||
3.17. lim |
2n +1 |
; |
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3.18. lim |
|
3n+1 +1 |
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
n+3 |
+ |
1 |
|
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n−1 |
+ |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
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|
n→∞ |
3 |
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|||||||||||||||||||
3.19. lim |
52n+1 -1 |
; |
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3.20. lim |
sin 2n |
|
; |
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||||||||||||||||||||||||||||
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n |
+ |
3 |
|
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4 |
|
n |
+3 |
|
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||||||||||||||||||||||
n→∞ |
25 |
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|
n→∞ |
|
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|
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||||||||||||||||||||||
3.21. lim |
cos(n +1) |
; |
|
|
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|
3.22. lim |
sin (n2 +1) |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ ln (n +1) |
|
|
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|
|
n→∞ |
|
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|
log2 n |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
3.23. lim |
|
2cos n +1 |
; |
|
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|
3.24. lim 3sin (n + 2) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
log3 n |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
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|
n→∞ |
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|
n2 + 4 |
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|||||||||||||||||||||||||
3.25. lim |
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|
n2 |
|
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|
; |
|
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3.26. lim |
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n3 |
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; |
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|||||||||||||||||
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||||||||||||
n→∞ |
|
n6 + 3 |
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|
n→∞ |
|
|
|
6n8 +1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
3.27. lim |
sin (2n +1) ; |
|
|
3.28. lim |
cos n + sin n ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
1+ 3ln n |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
2 + 3ln2 n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.29. lim |
2cos n +1 |
; |
|
|
3.30. |
|||
|
|
|
|
|||||
n→∞ 3 - 4log3 n |
|
|
|
|||||
Найти пределы рациональных выражений. |
||||||||
3.31. lim |
x3 - 2x - 6 |
|
; |
3.32. |
||||
40x2 - 64x - |
32 |
|||||||
x→2 |
|
|
||||||
3.33. lim |
x2 - 6x + 8 |
; |
|
|
3.34. |
|||
|
|
|
||||||
x→2 |
x6 - 64 |
|
|
|
||||
3sin n +1 . lim 2
n→∞ 2n +1
lim x2 -1;
x→−1 x3 +1
lim x2 - x - 6 ;
x→−2 x6 - 64
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3.35. lim |
|
x3 - 7x - 90 |
; |
|
|
|
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|
|
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|
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|
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3.36. lim |
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|
x2 - 6x + 8 |
|
; |
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x→5 x2 - 2x -15 |
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x→4 x3 - 3x - 52 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.37. lim |
(1+ x)(1+ 2x)(1+ 3x)-1 |
; |
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3.38. lim |
(1+ x)3 - (1+ 3x) |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
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|
|
x |
|
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|
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x→0 |
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|
x2 + x3 |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
3.39. |
lim |
|
(1- x)3 - (1+ 3x) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
3.40. |
æ |
|
|
3 |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷; |
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
x3 - x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
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|
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|
x→1è1- x3 |
|
|
|
|
1- x2 |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.41. |
|
|
|
|
|
(`1+ 4x)2 - |
(1+ 2x)4 |
|
|
|
|
|
|
3.42. |
æ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ö |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
limç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷; |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
x2 |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
x→1è1- x3 |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.43. |
æ |
|
|
5 |
|
|
- |
|
|
|
4 |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
limç |
|
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|
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|
÷; |
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||||||||||
1- x5 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→1è |
|
|
|
1- x4 |
ø |
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|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
3.44. lim |
|
(x +1)10 + (x + 2)10 +K+ (x +100)10 |
; |
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|
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x10 +1010 |
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||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
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3.45. lim |
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(2x +1)5 + (2x + 2)5 +K+ (2x +10)5 |
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; |
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x5 +105 |
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x→∞ |
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3.46. lim |
|
x3 - 8 -12(x - 2) |
; |
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3.47. |
lim |
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x4 - 4x + 3 |
; |
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(x - 2)2 |
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(x -1)2 |
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x→2 |
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x→1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.48. lim |
|
x3 + x2 + x - 3 |
; |
|
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|
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|
3.49. lim |
|
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|
x4 - 4x + 3 |
|
; |
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x→1 |
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x2 - 8x +15 |
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x→1 x3 - 3x + 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.50. lim |
|
x4 - 3x + 2 |
; |
|
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|
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3.51. |
lim |
x3 - 2x2 - 4x + 8 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x→1 x5 - 4x + 3 |
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x→2 x4 - 8x2 +16 |
|
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3.52. |
lim |
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|
x3 - 2x -1 |
; |
|
|
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|
3.53. lim |
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|
x4 + x3 + x2 - 3 |
; |
|
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x→−1 x5 - 2x -1 |
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x→1 |
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x2 -1 |
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3.54. lim 3x3 + 2x2 -19x + 6 |
; |
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|
3.55. lim |
|
|
x3 + x2 + x - 3 |
; |
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(x -1)(2x -1) |
|
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|
x→2 |
|
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|
2x2 - 3x - 2 |
|
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|
|
x→1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.56. |
lim |
|
|
|
x3 + x2 - x -1 |
; |
|
|
|
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|
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|
|
3.57. lim |
|
x5 -1 |
; |
|
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x→−1 x3 - x2 - x +1 |
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x→1 x6 -1 |
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3.58. lim |
|
(1+ 5x)3 - (1- 3x)5 |
; |
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|
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3.59. lim |
(2x - 3)20 (3x + 2)30 |
; |
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x5 |
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(2x +1)50 |
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x→∞ |
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x→∞ |
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3.60. lim |
|
(2x +1)10 × (9x2 +1)25 |
. |
|
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|
x→∞ |
|
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(3x -1)60 |
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|||||||||||||||||||
Найти пределы иррациональных выражений. |
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+ 3 |
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+ 4 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||
|
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|
x + x + |
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.61. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
3.62. |
lim |
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
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x +1+ |
|
x +1+ |
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|
|
|
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|
|
x→+∞ |
|
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|
2x + |
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3.63. lim |
|
|
|
|
|
1+ 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.64. |
lim |
|
|
|
1- x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
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|
x - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−8 |
|
|
2 + 3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3.65. lim |
|
|
|
|
|
|
|
x +13 |
x +1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.66. |
lim |
|
|
x - 6 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 - 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x3 + |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→3 |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3.67. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.68. lim |
|
|
|
|
|
9 + 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→16 |
|
( x - 4)( |
|
x + |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→8 |
|
|
|
|
3 x - |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- (1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.69. lim |
|
|
|
|
1- 2x - x2 |
; |
|
|
|
|
|
3.70. lim |
|
|
8 + 3x - x2 - 2 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
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3.71. lim 
x + 2 - 3 ;
x→7 4 x + 9 - 2
3.73. lim 3
7 + x3 - 3
9 - x2 ;
x→1 x -1
3.75. lim 
x -8 ;
x→64 3 x - 4
3.77. lim 2 -2
-x - 3 ; x→7 x 49
3.79. lim |
|
3 - |
|
5 + x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→4 |
|
1- |
|
5 - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.81. |
lim |
|
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x ×ç |
|
|
|
|
|
- x÷; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
æ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|||||
3.83. |
lim |
x |
3 |
|
- 3x |
2 |
- |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2x ÷; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→+∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
||
3.84. |
lim |
|
x |
2 |
|
|
+ 4x - 2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x ÷; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→+∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
æ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|||
3.85. |
lim |
x |
3 |
|
+ x |
2 |
+1 - |
|
x |
3 |
- x |
2 |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1÷ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→+∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||
3.86. lim |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 |
|
3 1+ 3x -1- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.88. lim |
(1- |
|
|
|
)(1- 3 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
(1- x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|||||||
3.89. lim |
|
3 |
|
|
|
(x + |
1) |
2 |
|
- |
3 |
(x -1) |
2 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x ×ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|||||
|
|
(1- |
|
|
|
)(4 |
|
-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.90. |
lim |
|
|
x |
x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x -1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.72. lim |
|
|
x2 |
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
x→0 |
3 |
1+ 3x - (1+ x) |
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 - 22 - 3 |
|
|
||||
3.74. lim |
|
x + 20 |
; |
|||||
|
|
|
x - 7 |
|
||||
x→7 |
|
|
|
|
|
|||
3.76.lim 3
x2 - 23
x +1;
x→1 (x -1)2
3.78. lim 2 - 
x - 4 ;
x→8 3 x - 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.80. lim |
|
x2 - 2x + 6 - x2 + 2x - 6 |
; |
|||||||
|
|
|||||||||
|
x→3 |
|
|
x2 - 4x + 3 |
|
|||||
|
æ |
|
|
|
ö |
|
||||
3.82. |
x |
2 |
|
|
||||||
lim ç |
|
- 5x - 6 - x÷; |
|
|||||||
|
x→+∞è |
|
|
ø |
|
|||||
3.87. lim 5 x -1;
x→1 3 x -1
Найти пределы выражений, содержащих тригонометрические функции.
3.91. lim |
cos x2 -1; |
|
|
3.92. lim |
x - sin5x |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x + sin8x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→0 |
|
tg2 x |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.93. lim |
tg x - sin x |
; |
|
|
3.94. lim sin x + sin 3x |
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→0 |
|
x ×sin x2 |
|
|
x→0 |
|
tg 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.95. lim |
tg x -1; |
|
|
3.96. lim |
4 - x2 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→ |
π |
|
x - |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 sin p x |
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
4 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
2 |
×sin |
|
|
|
|
sin7x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.97. lim |
|
|
x |
|
; |
|
|
3.98. lim |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
tg 4x |
|
|
x→π sin5x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.99. lim |
æ |
|
|
p |
ö |
|
|
|
|
|
|
3.100. lim |
tg x - sin x |
|
|
|
|
|||||||||
ç x |
- |
|
|
|
÷×ctg 2x; |
|
sin x3 |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→ |
π |
è |
|
|
2 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.101. lim |
sin5x - sin 3 |
; |
|
3.102. lim |
cos x - cos3x |
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
sin x |
|
|
x→0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2sin |
|
|
|
|
|
+ sin x |
|
|
2sin2 x + sin 2x |
|
|||||||||||||||
3.103. lim |
|
|
|
|
2 |
; |
3.104. lim |
; |
||||||||||||||||||
|
1- cos3x |
|
1+ sin8x - cos8x |
|||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|||||||||||||||||||||
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3.105. lim |
sin x - sin 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x - 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.107. lim sin(2 + 2x)- 2sin(1+ x)×cos1 |
; |
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
3.108. lim cos(3 + 2x)- cos(3 + x) |
; |
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||
3.109. |
lim sin(5 + 2x)- sin(5 + x) |
; |
|||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
2 tg x |
|
|
|
|
|
3.110. lim sin 4 - 2cos(2 + x)×sin 2 |
; |
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3.112. lim |
|
|
sin x - cos2x |
|
; |
|
|
|
|
||
|
|
- cos2x - 3sin x |
|
|
|
|
|||||
x→ |
π 2 |
|
|
|
|
|
|||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.106. lim cos x - cos3;
x→3 x - 3
3.111. lim |
|
sin2 (1+ x)- sin2 1 |
; |
|
|
|
1 |
||
x→0 cos2 x(1+ x)- cos2 |
|
|||
3.113. lim |
1- cos x ×cos 2x ; |
|
|
|
x→0 |
1- cos x |
|
|
|
3.114.
3.116.
3.118.
3.120.
1- ctg3 x
lim - - 3 ; x→ π4 2 ctg x ctg x
lim 1- cos x ×cos 2x ; x→0 1- cos x
lim 1- 
cos x ; x→0 1- cos 
x
lim |
|
cos x |
- |
3 |
cos x |
|
; |
|
sin2 |
x |
|
||||
x→0 |
|
|
|||||
3.115.
3.117.
3.119.
lim |
tg3 x - 3tg x |
; |
|||||
æ |
p |
ö |
|||||
x→ |
π |
|
|||||
3 |
cosç x + |
|
÷ |
|
|||
|
|
è |
6 ø |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
lim |
1- cos x2 |
; |
|
||||
1- cos x |
|
||||||
x→0 |
|
|
|||||
lim (sin 
x -1 - sin 
x );
x→+∞
Вычислить пределы, используя второй замечательный предел.
|
æ x2 |
+ |
1 |
ö |
2x2 +5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.121. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ç |
|
|
- |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→∞è x |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
æ x2 |
+ 2x -1 |
ö2x |
|
||||||||||||||
3.123. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
; |
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|
2 |
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||||||||
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ç |
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- 3x - 2 |
÷ |
|
|
|
||||||||||
|
x→∞è x |
|
ø |
|
|
|
||||||||||||
|
æ |
|
|
x2 + 3 |
ö3x+5 |
|||||||||||||
3.125. |
lim ç |
|
|
|
|
|
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|
|
÷ |
|
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; |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ç |
|
|
+ 2x -1 |
÷ |
|
|
|
||||||||||
|
x→∞è x |
|
ø |
|
|
|
||||||||||||
|
æ |
|
|
|
x2 + 4 |
ö |
−x2 |
|
||||||||||
|
|
|
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|
|
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3.127. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
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÷ |
|
|
; |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ç |
|
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- 2x + 3 |
÷ |
|
|
|
||||||||||
|
x→∞è x |
|
ø |
|
|
|
||||||||||||
|
æ x3 |
+ 3x2 +1ö−4x |
||||||||||||||||
3.129. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
; |
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ç |
|
|
|
x |
+1 |
|
÷ |
|
|
||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
ø |
|
|
|||||||||||
|
æ x5 |
+ |
3 |
ö |
−2x5 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.131. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
; |
|
|
|||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
|
ç |
|
|
+ |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
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||||
|
x→∞è x |
|
ø |
|
|
|
|
|
2 ö2x+1 |
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|
æ x4 |
- x3 + 2x |
||||||||||||||||
3.133. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
÷ |
; |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ç |
|
|
|
x |
+1 |
|
|
|
|
÷ |
|
||||||
|
x→∞è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||||
|
æ x4 |
+ 2x3 -1ö−2x |
||||||||||||||||
3.135. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
; |
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ç |
|
|
|
x |
+ 3 |
|
÷ |
|
|
||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
ø |
|
|
|||||||||||
|
æ x2 |
|
+ 2x +1 |
ö−x+1 |
|
||||||||||||||||||||||
3.122. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
x |
|
|
- 3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
æ x3 |
|
+ 2x + 3 ö |
− |
1 |
|
x2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.124. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
x |
|
+1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
æ x2 |
|
- 3x +1ö2x+1 |
|
|||||||||||||||||||||||
3.126. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ç |
|
|
x |
|
+ 4 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
æ x2 |
|
+ 3x + 2 ö |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3.128. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
x |
|
- 4 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
æ x3 |
|
+ 2x2 -1 |
ö−3x |
|
||||||||||||||||||||||
3.130. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
x |
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
æ x4 |
|
+ 2x3 +1 |
|
ö3x |
|
|||||||||||||||||||||
3.132. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
x |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
æ x3 |
- 2x2 + 3 ö−x |
|
||||||||||||||||||||||||
3.134. lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
x |
|
+ 2 |
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
æ x3 |
|
+ x2 + x + 2 ö−x |
|
|||||||||||||||||||||||
3.136. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
; |
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ç |
|
|
x |
|
+ 2x +1 |
÷ |
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
|
ø |
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3.137.
3.139.
3.141.
3.143.
3.145.
3.147.
3.149.
3.151.
3.153.
3.155.
3.157.
3.159.
3.161.
3.163.
3.165.
3.167.
3.169.
3.171.
æ |
|
|
x4 - x + 2 |
|
ö2x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim ç |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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÷ |
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|
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|
4 |
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||
ç |
|
|
|
|
|
+ 2x +1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
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x→∞è x |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
æ x5 - 3x + 2 |
|
ö2x4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
÷ |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
x |
+1 |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
æ x4 + x2 +1 |
ö |
x2 +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim ç |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ç |
|
|
|
|
|
x |
|
+ 2 |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
−4 |
|
|
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|
æ |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
x |
||||||
|
|
|
|
|
x + 34 x +1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
lim |
ç |
|
|
|
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|
|
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|
|
÷ |
|
; |
|||||
|
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|
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|
|
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|
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|||||||||
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|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→+∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5 ö2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
+ 24 |
|
|
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||
lim |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
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÷ |
; |
|||||
|
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|
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|||||||||
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||
x→+∞è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
æ |
|
|
4x |
+1 |
|
|
ö |
−4x |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
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lim |
ç |
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÷ |
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|
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; |
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|
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|
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|
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|
|
2x |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ç |
2 |
|
+ 3 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→+∞è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
æ |
|
2x + 4x ö |
−2x |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
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lim |
ç |
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÷ |
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x |
|
|
|
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|
|
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|
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ç |
|
|
4 |
|
+1 |
|
÷ |
|
|
|
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|
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x→+∞è |
|
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|
ø |
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|
|
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|
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||||||||||||
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|
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1 |
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lim(cos4(x -1))(x−1)2 ;
x→1
lim (sin x)tg2 x ;
x→ π2
1
æ sin x ö x2 ; limç ÷
x→0è x ø
lim x2 ×ln cos p ;
x→∞ x
ln(cos x) ; lim 2
x→0 sin x
lim(1+ sin px)ctg πx ;
x→0
lim(1+ x2 )ctg2 x ;
x→0
lim(1+ sin px)ctg x ;
x→0
1
limæç cos x ö÷ x−2 ; x→2è cos 2 ø
1
æ cos x ö x2 ; limç ÷
x→2è cos 2 ø
lim(cos x)ctg 2x ;
x→0
|
|
|
æ x4 |
+ 3x3 +1 |
ö−x+1 |
|
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3.138. lim ç |
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÷ |
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; |
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4 |
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|||||||||||
|
ç |
|
|
|
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|
x |
|
+ 2 |
|
|
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|
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|
|
÷ |
|
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|
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|
||||||||||||
|
x→∞è |
|
|
|
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|
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|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
æ x3 + x + 4 |
|
ö |
−x2 +1 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
3.140. |
lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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÷ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
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||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||
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ç |
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x |
x |
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3.144. |
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3 |
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x |
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x + 26 x +1 |
|
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3.146. |
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3 |
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3.148. |
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32x + 3x +1ö3x |
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x |
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+ 2 |
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3.150. |
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25x - 5x |
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+1ö |
−5x |
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ç |
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+ 2 |
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÷ |
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x→+∞è |
|
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3.152. lim (sin x)tg x ; |
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x→ |
1 |
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2 |
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3.154. lim(1+ tg |
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)− |
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5 |
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x |
x |
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x→0 |
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3.156. |
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æ |
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|
æ |
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x |
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ç |
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2 ø |
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2 |
÷ |
|||||||||||||||||||
|
è |
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ø |
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æ |
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3x +1 ö |
|
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|||||||||||||||
3.158. lim (2x + 5)lnç |
|
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; |
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|
3x + |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x→∞ |
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|
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|
ø |
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||||||||||||||||||||
3.160. lim ln(1+ tg x2 ) ; |
|
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x→0 1- cos 2x |
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3.162. lim(1+ sin px)ctg πx ; |
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x→1 |
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1 |
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||||||||
3.164. lim(1+ tg x) |
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sin 2x |
; |
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x→0 |
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æ sin x ö |
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1 |
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3.166. |
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x−3 |
|
; |
|
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x→3è sin 3 |
ø |
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|||||||||||
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æ tg x |
ö |
1 |
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|||||||||||
3.168. |
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x−1 |
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|
; |
|
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|
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||||||||||||||||||
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÷ |
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ç |
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÷ |
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x→1è tg1 |
ø |
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|||||||||
3.170. lim (tg x)tg 2x ;
x→ π4
3.172. lim(cos x)ctg2 x ;
x→0
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3.173. |
|
æ |
|
|
1 |
|
öx2 |
; |
|||
lim |
çcos |
|
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÷ |
|
||||||
|
x |
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|
x→∞è |
|
|
|
ø |
|
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||||
|
|
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|
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1 |
|
|
||
3.175. lim(x + ex ) |
|
; |
|
||||||||
x |
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
x2 öctg2 3x |
|||||||
|
|
æ |
|
||||||||
3.177. |
lim |
ç |
+ |
|
|
|
|
÷ |
|
; |
|
ç1 |
|
2 |
÷ |
|
|||||||
|
x→0 |
è |
|
|
ø |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
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||||
3.179. lim ln(cos2x) |
; |
||||||||||
|
x→0 |
|
tg2 x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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3.174. |
lim |
x cos |
x |
; |
|
|
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|
|
|||
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
|
lim (cos(x +1))− |
1 |
|
|
|||||||||
3.176. |
(x+1)2 |
; |
|||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.178. lim (tg x)−2 tg 2x ; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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4 |
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|
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|
− |
2 |
|
||
3.180. |
|
|
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lim |
(1+ sin |
|
x |
) x ; |
|||||||||
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x→0+0 |
|
|
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|
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|
||
Определить порядок бесконечно малой функции относительно x при x → 0 .
3.181. |
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|
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3.182. |
|
2x2 |
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|
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x + 2 |
|
|
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|
|
; |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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2 + x |
|
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|||||||||||
3.183. |
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
3.184. |
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
x + |
x + |
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|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
1+ x |
1- x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
3.186. 3 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
3.185. |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x2 |
|
x3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x + 8 |
|
|
|
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|
|
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||||
3.187. |
|
|
|
|
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|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
3.188. 1- |
|
|
x2 + 3x +1; |
||||||||||||||||||||||||
|
1- 2x |
1- 3x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.190. 3 |
|
|
|
-1; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3.189. |
|
|
|
|
|
|
|
-1- |
|
|
|
|
|
; |
1+ x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ 2x |
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.191. |
|
x2 - x +1 -1; |
3.192. 1− cos3x; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.193. tg 5x − sin 5x; |
3.194. cos5x − cos6x; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.195. |
|
|
×sin |
|
|
; |
3.196. tg x2 - sin x2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.197. tg2 x - sin x; |
|
|
|
|
|
|
|
3.198. 1- cos3 x; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.199. sin(1- cos x); |
3.200. tg |
|
|
- sin |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.201. ex -cos |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
3.202. esin x2 -1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.203. eπx -1; |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.204. e2x - e−2x ; |
|||||||||||||||||||||||||||
3.205. x ln(cos5x); |
|
|
|
|
|
|
|
3.206. |
3sin 2x -1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.207. ln(1+ x sin 3x); |
3.208. sin( |
|
|
|
|
-1); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.209. 3sin 5x -1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3.210. 1- |
|
|
cos x2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определить порядок бесконечно малой функции относительно x − a при x → a .
|
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|
|
|
|
p |
|
3.211. |
3 (x -1)2 - |
(x -1)3 , a =1; |
|
3.212. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
sin x - cos x, |
|
a = 4 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
- 2 |
|
|
|
+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, a = p; |
|
|||||||||||
3.213. |
x2 |
a = 1; |
|
3.214. 1- sin |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
3.215. |
1- x2 - 4x + 5, a = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.216. |
|
|
- |
|
|
|
|
|
, a = p |
; |
3.217. |
|
|
|
- 2, |
a = 2; |
|
|||||||||||||||
|
1+ cos x |
1- cos x |
2 + x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4(x -1)35 |
|
|
|
|
|
|||||||||
3.218. esin 5x - esin 3x , a = p; |
|
3.219. |
|
x -1 |
|
, a =1; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 + 7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.220. π − x − sin 3x, |
|
|
|
|
|
|
|
3.221. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a = π; |
|
|
x ln x, |
|
|
a = 1; |
|
|||||||||||||||||||||||||
3.222. |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
, a = p; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1+ sin3x |
|
1- sin3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.223. |
cos x - cos7x, a = |
p |
; |
|
3.224. (x2 -1)ln x, |
a =1; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
3.225. arcsin |
(x |
-1)2 |
, a = 1; |
3.226. |
(x2 - |
16)2 |
, a = 4; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
sin( x - 2) |
|
|
|
||||||||
3.227. tg2(x -1)- sin(x -1), a =1; |
3.228. (x - p)ln cos 2x, |
a = p; |
|||||||||||||||||||
3.229. tg2 |
|
|
|
|
a = -2; |
3.230. ln cos x, |
a = 2π; |
|
|
||||||||||||
|
x + 2, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
, a = 1; |
3.232. 1- cos3 (x - 2)2 , a = 2; |
||||||||||||||||
3.231. 1- |
cos(x -1)2 |
||||||||||||||||||||
3.233. 1- tg3 x, a = p |
; |
3.234. 1- sin 2x, |
|
a = p ; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3.235. cos2 5x - cos2 3x, a = p; |
3.236. cos4 x - sin4 x, |
a = p ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||||||
3.237. 1- cos3 x, |
|
a = 2p; |
3.238.sin3 4x - cos3 4x, a = |
||||||||||||||||||
|
16; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.239. ecos5x - ecos3x , |
a = p; |
3.240. sin px ln |
x |
, a = 2. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
Вычислить предел функций, используя понятие эквивалентности функций.
3.241. lim |
1+ cos3x |
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→π sin2 7x |
|
|
|
|
|
|||||||
3.243. lim 1+ cos px |
; |
|
|
|
|||||||||
|
x→1 |
|
tg2 px |
|
|
|
|
|
|
||||
3.245. |
lim |
|
tg px |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→−2 x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.247. |
lim |
|
1- cos 2x |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 cos 7x - cos3x |
|
|||||||||||
3.249. lim |
e4x2 -1 |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.251. lim |
|
ln(9 - 2x2 ) |
; |
|
|||||||||
|
|
sin 2px |
|
|
|
|
|||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
3.253. lim |
ln cos7x |
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 arcsin x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
3.255. lim(1- x)tg px |
; |
|
|||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
3.257. lim |
1- sin 2x |
; |
|
|
|
||||||||
|
x→ |
π |
(p - 4x)2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.242.
3.244.
3.246.
3.248
3.250.
3.252.
3.254.
3.256.
3.258.
|
|
æ |
p ö |
|
||
|
|
|
sinç x - |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
è |
3 ø |
; |
||
|
1- 2cos x |
|||||
x→ |
π |
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
cos5x - cos3x |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→π |
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|||||||||
lim |
1- cos3 x |
; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
2cos2 x -1 |
; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
lnsin x |
|
|
|
||||||||||
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
|
|
|
lnsin 3x |
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
(6x - p)2 |
|
|
|
|||||||||||
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
|
|
ln cos2x |
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→π ln cos4x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
sin7px |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→2 sin8px |
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
sin2x - tg2 x |
; |
|
|||||||||||
x→π |
|
|
|
|
|
(x - p)2 |
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
lg x -1 |
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→10 x - 9 - |
1 |
|
|
||||||||||||||
3.259. |
|
|
|
|
æ p |
ö |
|
|
|
3.260. lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
- 2cos x |
|
|||||||
lim |
ç |
|
- x÷ tg x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
æ |
|
|
|
p ö |
|||||||||||||||||||
|
|
πè 2 |
ø |
|
|
|
x→ |
π |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinç x |
- |
÷ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln(sin x) |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
4 ø |
|
|||||||||
3.261. lim |
; |
3.262. lim |
1- cos10x |
; |
|
|||||||||||||||||||||
(2x - x)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
x→0 ex2 -1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
- e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.263. |
lim |
|
ex |
; |
|
3.264. lim |
|
|
|
ln tg x |
; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x→ |
π cos 2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.265. |
lim |
|
|
ln(2x - 5) |
; |
3.266. lim |
2x - 2 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→3 esin πx -1 |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
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3.267.
3.269.
3.271.
3.273.
3.275.
3.277.
3.279.
3.281.
3.283.
3.285.
3.287.
3.289.
3.291.
3.293.
3.295.
3.297.
3.299.
lim |
cos5x - cos10x |
; |
|||
|
|
|
|||
x→0 |
|
esin x2 -1 |
|||
lim |
esin2 2x -1 |
; |
|
||
|
|
|
|
||
x→0 |
|
x2 + 4 - 2 |
|
|
|
limæç 2arctg x -1ö÷; x→0çè 
x +1 -1÷ø
lim(cos6x)ctg2 x ;
x→0
|
æ |
px öx |
|||
lim |
çsin |
|
÷ |
; |
|
2 |
|||||
x→0è |
ø |
|
|||
lim(ln(e + x))ctg x ;
x→0
lim x1/(1−x);
x→1
lim earcsin x -1;
x→0 
x + 4 - 2
lim |
|
|
1+ cos x |
- |
|
1- cos 2x |
; |
||||
|
|
|
|
|
lnsin x |
||||||
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p |
ö |
|
|
|
|||
|
|
ln tgç |
|
|
+ 4x÷ |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
lim |
è 4 |
|
ø |
; |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
lim |
(2 + x)x |
- 2x |
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(3+ x)x |
- 3x |
; |
|
|
|
||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x2 ln cos |
p |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
ex2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
1+ sin x2 -1 |
|
|
|||||||||||
|
æ |
æ |
|
x |
ö |
|
|
|
|
x ö |
||||
lim xçlnç1+ |
|
|
|
÷ |
- ln |
|
÷. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
ç |
è |
|
2 |
ø |
|
|
|
|
2 |
÷ |
|||
è |
|
|
|
|
|
ø |
||||||||
lim |
esin 5x - esin x |
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
ln(1+ |
2x) |
|
|
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
ex2 - cos x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.268. lim |
|
|
ln(1+ arctg5x) |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x + 9 - 3 |
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3.270. lim |
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sin x - cos x ; |
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x→ |
π |
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1- tg x |
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4 |
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3.272. lim |
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(1+ ctg x)tg x ; |
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x→ |
π |
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2 |
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(sin x)tg2 x ; |
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3.274. lim |
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x→ |
π |
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2 |
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1 |
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3.276. |
lim (1+ 3x4 )sin2 x |
; |
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x→0 |
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3.278. lim |
1- |
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cos x |
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; |
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|||||||||||||||||
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x→0 ex2 -1 |
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|
- |
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; |
|||||||||
3.280. lim |
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1+ sin 2x |
1- sin 2x |
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tg x |
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x→0 |
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3.282. lim |
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chx2 -1 |
; |
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ln cos x |
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||||||||||||||
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x→0 |
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æ |
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öx |
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|||||||||
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|
x |
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||||||||||||||||
3.284. |
lim |
ç |
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÷ |
; |
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||||||||||
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|||||||||||||||
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|
ç |
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+ x |
÷ |
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||||||||
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x→+∞è1 |
ø |
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cos |
π |
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x |
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|||||||
3.286. lim |
2 |
|
; |
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||||||||||||
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|||||
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x→1 |
1- |
|
x |
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3.288. lim tg x - sin x ; |
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||||||||||||||||||||||
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x→0 ex3 -1 |
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|||||||||||||||||||||
3.290. lim |
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1+ 2sin x |
- |
|
1- 2sin x |
|
; |
|||||||||||||||||||||
|
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||||
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x→0 |
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ex -1 |
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æ |
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1 |
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ö |
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||||||
3.292. lim xç3x -1÷; |
|
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||||||||||||||||||||||
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x→∞ |
ç |
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÷ |
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|||||||||
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è |
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|
ø |
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||||||
|
1- cos x |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
3.294. lim |
|
cos 2x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
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tg x2 |
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|||||||||||||||||||
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x→0 |
|
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|||||||||||||
3.296. lim |
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|
1- ctg px ; |
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|||||||||||||||||||
|
x→ |
1 |
|
|
ln tg px |
|
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|||||||||||
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4 |
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3.298. lim 10x -1;
x→0 2x -1
|
æ |
|
|
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|
ö |
3.300. |
x2 |
+1 - sin x2 |
|
||||
lim çsin |
-1÷; |
||||||
|
x→∞è |
|
|
|
|
ø |
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1
æ xex +1 ö x2
4.287. limç ÷ ; x→0çè xpx +1÷ø
4.288. lim(cos x + arctg |
2 |
x) |
1 |
; |
|
arctg x2 |
|
||
x→0
4.290.
4.293.
4.299.
4.301.
4.302.
4.303.
4.308.
4.314.
4.315.
4.317.
lim |
(a x - bx )2 |
; |
|
|
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|||||||||
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x→0 a x2 - bx2 |
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cos3x - cos5x |
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lim ln cos x |
; |
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4.294. lim |
; |
|||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||
x→0 |
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|
tg2 x |
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x→0 |
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ex2 -1 |
|||||
lim |
|
x - sin5x |
; |
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|||||||
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x→0 |
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x + sin8x |
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||||||||
æ a x + bx |
|
1 |
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ö |
x2 |
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|||||||||
limç |
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÷ |
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, a > 0,b > 0; |
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|||||||
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|||||||||||
ç |
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2 |
|
÷ |
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|||
x→0è |
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|
ø |
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||||
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1 |
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æ a x+1 + bx+1 ö x |
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|||||||||||||
limç |
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÷ |
,a > 0,b > 0; |
|
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|
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|
||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||
ç |
|
a + b |
÷ |
|
|
|
|
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|
|
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|
|
||||||||||
x→0è |
|
ø |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||
|
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tg 2x - 3arcsin 4x |
|
|
x - 4arctg |
1 |
|
æ 2x + 3ö |
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1+ x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
; |
lim |
|
|
; lim ç |
|
|
|
|
÷ ; |
|
|
|||
x→0 sin 5x - |
|
6arctg7x |
|
x→0 |
x |
|
|
x→∞è 2x |
+1 |
ø |
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
lg x -1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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4.310. lim |
|
ln cos5x |
; |
|
|||||||||||
|
x -10 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
x→10 |
|
|
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|
x→0 ln cos4x |
|
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|||||||||
lim(1- x)tg px |
; |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→1 |
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
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æ1+ ex öctg x |
||||||||||
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chx -1 |
|
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||||||||
|
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|
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|
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|
|
|
|
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4.316. lim |
ç |
|
|
÷ |
|
|
||||
lim |
1- cos x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
|
÷ |
; |
|
|||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
è |
|
ø |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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æ 7x + 3 ö3x−5 |
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||||||||||||
lim |
ç |
|
|
|
÷ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
|
|
|
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x→∞è 7x +10 ø |
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