Г Л А В А IV

ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ

§36. Гриновские функции при конечных температурах1)

Определение функции Грина макроскопической системы при отличных от нуля температурах отличается от их определения при нулевой температуре лишь тем, что усреднение по основ­ ному состоянию замкнутой системы заменяется усреднением по распределению Гиббса: символ (...) будет теперь обозначать

где суммирование производится по всем состояниям системы (отличающимся как энергией Е п, так и числом частиц iVn), Е'п = Еп —fiNn, а (п|...|п) — диагональный матричный эле­ мент по n-му состоянию. Определенные таким образом средние значения являются функциями термодинамических переменных Т, V .

При исследовании аналитических свойств гриновских функ­ ций при конечных температурах (Л . Д . Ландау, 1958) целесо­ образно воспользоваться так называемыми запаздывающими и опережающими функциями Грина, аналитические свойства ко­ торых оказываются более простыми2). Для определенности бу­ дем говорить сначала о ферми-системах.

Запаздывающая функция Грина определяется согласно

( $ а (Х1)$ + (Х 2 )+ $ + (Х 2 ) $ а (Х1)), h > *2 ,

Для микроскопически однородной неферромагнитной системы, в отсутствие внешнего поля, эта функция (как и обычная Gap) сводится к скалярной функции, зависящей лишь от разности

Х = Х г - Х 2:

1) В § 36 - 38 пользуемся системой единиц с Н = 1.

2) Эти функции принято отличать индексами R и А — от английских слов retarded и advanced.

о

интегрирование по t производится фактически лишь от 0 до оо. Смещение переменной со в верхнюю полуплоскость лишь улучша­ ет сходимость такого интеграла. Поэтому интеграл (36.4) опре­ деляет в верхней полуплоскости ио аналитическую функцию, не имеющую особенностей1). В нижней же полуплоскости, где

функция GR определяется путем аналитического продолжения, она имеет полюсы (см. ниже).

Получим для функции GR разложение, подобное выведенно­ му в § 8 разложению (8.7) для функции G при Т = 0.

Раскрыв матричный элемент (п\.. .\п) от произведения ^-операторов по правилу матричного умножения и выразив мат­ ричные элементы в виде (8.4), получим

Для двух членов в фигурных скобках суммирование по п и m имеет несколько различный смысл: в первом члене числа частиц в состояниях п и m связаны соотношением N m = N n + 1, а во втором: N m = N n — 1. Чтобы устранить это различие, взаимно переобозначим во второй сумме индексы ш и п . Заметив также,

(36.5)

х)С р. аналогичные рассуждения для функции а(и) в V, § 123. Сходство

аналитических свойств функций GR и а , разумеется, не случайно: согласно V (126.8), последняя выражается аналогичным образом через определенный операторный коммутатор.

Обратим внимание на то, что все полюсы этого выражения рас­ положены (в соответствии со сказанным выше) под вещественной осью, в нижней полуплоскости оо.

Последнее свойство достаточно для того, чтобы установить определенную связь между вещественной и мнимой частями функции — так называемое соотношение Крамерса-Кронига, или дисперсионное соотношение

оо

— ОО

(см. вывод такого же соотношения для а(оо) в V, §123). В его справедливости можно также убедиться и непосредственной про­ веркой, отделив в (36.6) вещественную и мнимую части с помо­ щью формулы (8.11). Отметим также, что с учетом той же фор­ мулы можно переписать (36.7) в виде

оо

При вещественных си имеем р = ImG^.

Представление (36.8) приобретает более глубокий смысл при переходе к «макроскопическому пределу» V —» оо (при задан­ ном отношении N /V). В этом пределе полюсы иошп сливаются, и функция р(и) делается отличной от нуля при всех и (а не просто равна сумме ^-функции в дискретных точках). При этом фор­ мула (36.8) непосредственно определяет GR(uo) в верхней полу­

плоскости ио и на вещественной оси. Для определения же GR (LU) в нижней полуплоскости ио необходимо произвести аналитиче­ ское продолжение интеграла, для чего следует деформировать контур интегрирования таким образом, чтобы он всегда огибал

точку и = ио снизу. При этом GR (UO) может иметь особенности в нижней полуплоскости (на конечном расстоянии от веществен­ ной оси), когда контур «зажимается» между полюсом и = оо и особенностью числителя.

iG%e{Xu Х 2) = {

Р\ - (Фа(Х1)Ф+(Х2)+Ф+(Х2)Фа(Х1)), tx < t2.

(36.9)

Функция Ga (oj, р) в импульсном представлении является аналитической функцией переменной си, не имеющей особенностей в нижней полуплоскости. Ее разложение отличается от (36.6) из­ менением знака перед гО в знаменателях. Это значит, что на ве­

щественной оси Ga (ou) = GR*(cj), а во всей плоскости си:

При lo —Уоо функции Gr и Ga стремятся к нулю по тому же закону, что и функция G:

Напомним (см. вывод (8.15)), что коэффициент (единица) в этом асимптотическом выражении определяется величиной скачка функции при £2 — *i; этот скачок не зависит от температуры

и одинаков для всех трех функций GR, GA, G, как это ясно из их определений.

Для установления связи между введенными таким образом функциями GR, Ga и обычной функцией Грина

получим для последней разложение, аналогичное (36.5). Вычис­ ления, вполне аналогичные произведенным выше, приводят к ре­ зультату 1):

1) При переходе к импульсному представлению интеграл по t разбивается на две части — от —сю до 0 и от 0 до сю, причем в одной из них производится переобозначение индексов суммирования ш, п.

Если при этом идет речь о температурах выше Л-точки, то в этих определениях фигурируют полные ^-операторы; при температу­ рах же ниже Л-точки определение относится к надконденсатным операторам. Вместо (36.6) имеем теперь

GR (u, р) = (2тг) 3 У ШпАтп8 (р--ктп)^ _ е-и,тп/Ту

(функция G определяется, согласно (31.1), с усреднением по рас­ пределению Гиббса вместо усреднения по основному состоянию).

Для идеального бозе-газа функция GR дается той же формулой (36.17), а функция G:

Физический смысл функций Грина при отличных от нуля температурах в основном совпадает с их смыслом при Т = 0. Разумеется, остаются справедливыми формулы, связывающие гриновскую функцию G с импульсным распределением частиц (7.23) и вообще с матрицей плотности (7.18), (31.4).

Остаются в силе также и основные утверждения о совпадении полюсов функции Грина с энергией элементарных возбуждений (поскольку, однако, сама функция G не аналитична, то при этом

удобнее говорить о полюсах аналитической функции GR, кото­ рые она имеет в нижней полуплоскости о;, или о полюсах функ­

ции G A в верхней полуплоскости). Это утверждение снова (как и в § 8 ) следует из разложения (36.6). Хотя в различных членах этого разложения фигурируют теперь частоты переходов иошп между любыми двумя состояниями системы, но (после перехода к макроскопическому пределу) по-прежнему остаются полюсы, отвечающие лишь переходам из основного состояния в состоя­ ния с одним элементарным возбуждением. Переходы же между двумя возбужденными состояниями не приводят к возникнове­ нию полюса в макроскопической одночастичной функции Грина по той же причине, по которой не приводят к возникновению полюса и переходы из основного в состояния с более чем од­ ной квазичастицей (см. §8 ): разность энергий таких состояний не определяется однозначным образом разностью их импульсов.

операторов заменой в последних вещественной переменной t мни­

мой величиной —гт 1). Такой же заменой (Ф —»

id /d t —» —д/дт), например в (7.8), получаются уравнения, кото­ рым удовлетворяют операторы (37.1). С помощью этих операто­ ров новая функция Грина Q определяется аналогично тому, как обычная гриновская функция G определяется через гейзенбер­ говские ^-операторы:

где символ Тт означает «т-хронологизацию» — расположение операторов в порядке увеличения т справа налево (с изменени­ ем знака при перестановке операторов в случае ферми-систем); скобки же (...) означают усреднение по распределению Гиббса. Последнее можно представить в явном виде, записав определе­ ние (37.2) как

£a/3= - S p { £ T T§ ^ ( n , п )Ф ^ (т 2, г2)}, £ = е х (37.3)

где Sp означает сумму всех диагональных матричных элементов. Определенную таким образом гриновскую функцию называют температурной в отличие от «обычной» функции G (которую

ба/3 —б^а/3 • Для пространственно-однородной системы ее зави­ симость от ri и Г2 снова сводится к зависимости от разности г = 1*1 —г2.

Легко также видеть, что уже по самому определению (37.3)

или, произведя под знаком Sp циклическую перестановку мно­ жителей:

9 = ± ^ е п/т Sp {е“ (1/г+т)я'^+ (r2 )eTi?'^ a (ri)}, г < 0, (37.4)

откуда и очевидно сделанное утверждение.

х) Подчеркнем, что в виду этого отличия оператор Фм отнюдь не совпа­

дает с Фм + .

2) Заключенный в скобки множитель 2 относится к ферми-системам, а для бозе-систем должен быть заменен единицей.

(ввиду (37.5) аргумент функции справа при т < 0 положителен). Разложив теперь функцию £7(т, г) в интеграл Фурье по ко­

ординатам и в ряд Фурье по т (на интервале (37.5))х):

(s = 0 , ± 1 , ± 2 , ...); при этом автоматически выполняется усло­ вие (37.6). Обратное к (37.7) преобразование имеет вид

(интеграл по области — 1/Т ^ т ^ 1/Т преобразован в интеграл от 0 до 1/Т с учетом (37.6) и (37.8)).

Вычисления, аналогичные произведенным в § 36, позволяют выразить Q((s, р) через матричные элементы шредингеровских ^-операторов. Они приводят к результату

б(Са, Р) = У Un ArnnS{-P ~ k^")(1 ± e - u mn/ T y (37.10)

(2)п^п

1)Введение этого приема принадлежит А. А. Абрикосову, Л. П. Горькову,

И.Е. Дзялошинскому (1959) и Е. С. Фрадкину (1959).

§38. Диаграммная техника для температурных функций Грина

Диаграммная техника для вычисления температурной функ­ ции Грина Q строится подобно тому, как это делалось в § 12,13 для временной функции G. Тот факт, что определение мацубаровских ^-операторов (37.1) отличается от определения гей­ зенберговских операторов лишь формальной заменой it —» т, позволяет во многом воспользоваться прямой аналогией.

Прежде всего вводим мацубаровские операторы в «представ­ лении взаимодействия», отличающиеся от (37.1) заменой точно­

го гамильтониана Н 1 на гамильтониан свободных частиц Н$\

— оператор взаимодействия в том же представлении. Но в то

время как в § 12 связь между Ф и Фд устанавливалась при на­ чальном условии «включения» взаимодействия при t = —ос, теперь роль «начального» условия должно играть совпадение

ипри т = 0. Соответственно вместо (1 2 .1 1 ) пишем

Подставим это выражение в определение функции Грина (37.3); положив, для определенности, т\ > Т2 , имеем

G a p { T i , Т 2 ) =

= - S p { o 5 c t 1 ( т 1 , 0 ) $ o i ( r i ) S :( r i , 0 ) с т 1(т2,0)У%р(т2)д(т2,0)}

(аргументы гх, г2 для краткости не выписываем). Заметив, что при т\> т2 > тз

£(ть тз) = а(т1, т2)а(т2, т3),

а{т2 , т\)Э 1(тз, п ) = Э(т2, тз)

Множители в квадратных скобках уже расположены в порядке возрастания справа налево. Поэтому можно написать

Легко проверить, что в таком виде это выражение остается спра­ ведливым И При Т \ < Т 2 -

В отличие от (12.12), в (38.5) содержится лишний (гиббсов­ ский) множитель, и, кроме того, усреднение производится еще по состоянию системы взаимодействующих частиц. Покажем, что оба эти отличия «взаимно погашаются», в результате чего вос­ станавливается полная аналогия с (12.14). Для этого воспользу­

которая получается путем подстановки (38.1) в (38.4) и после­ дующим сравнением получившегося выражения с определением

Фм согласно (37.1). С ее помощью заменяем в (38.5)

Наконец, умножив числитель и знаменатель на ехр(Г^о/^) (гДе По — термодинамический потенциал идеального газа при тех же значениях fi, Т, V ), получим окончательно

где усреднение производится по состояниям системы невзаимо­ действующих частиц:

(...)о = Sp {а)0 ...}.

Аналогия этого результата с (12.14) очевидна.

неопределенными (после учета законов сохранения во всех вер­ шинах), производится интегрирование и суммирование вида

Общий коэффициент, с которым диаграмма входит в —Ga/3 ^ в

случае ферми-систем равен (—1)^, где L — число замкнутых последовательностей сплошных линий в диаграмме. В случае же бозе-систем этот коэффициент равен 1 .

Разумеется, и в этой технике (как и в технике при Т = 0) можно производить частичное суммирование и вводить различ­ ные диаграммные «блоки». В частности, можно определить вер­ шинную часть, выражающуюся через двухчастичную функцию Грина. Эта вершинная часть связана с функцией Q уравнением Дайсона, аналогичным (15.14). Мы не будем выписывать такие формулы, вывод которых вполне аналогичен выводу в диаграмм­ ной технике при Т = 0.

При переходе к случаю Т = 0 суммы по s в мацубаровских диаграммах превращаются в интегралы по ( и мацубаровская техника превращается в технику, очень напоминающую обыч­ ную, изложенную в гл. II. Разница, однако, состоит в том, что при вещественных £ мацубаровские функции совпадают со зна­

чениями Gr и Ga на соответствующих полуосях мнимой оси (см. (37.11), (37.12)). Для перехода к обычной технике при Т = 0 надо еще повернуть контур интегрирования до совпадения с ве­ щественной осью оо.