Добавил:

Fairy Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Sin_i_cos

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.04.2017

Размер:

142.81 Кб

Скачать

☆

Примеры вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции sin x и cos x .

sin2 x dx

sin3 x dx

sin4 x dx

sin5 x dx

sin6 x dx

sin x

x sin x dx

x 2 sin x dx

sin

cos2 x dx

cos3 x dx

cos4 x dx

cos5 x dx

cos6 x dx

cos x

cos

x cos x dx

cos

chdxx

sin2 x dx

Применим формулу понижения степени sin :						sin2 x			1 cos 2x	, тогда
		1 cos 2x		1			1		2		x	1
sin2								cos 2x d 2x
	x dx		dx		dx								sin 2x C
		2		2			4				2	4

sin3 x dx

sin3 x dx sin2 x d cos x 1 cos2 x d cos x

d cos x cos2 x d cos x cos x																				1 cos3 x C
																				3
Или:					cos x t
	sin3				cos x t									sin2			x sin x dx							1 t 2		dt
	sin3	x dx												sin2			x sin x dx							1 t 2		dt
					sin x dx dt
			t 3					t 3				1		cos3 x cos x C
t					C				t C
t			3		C			3	t C			3
			3					3				3

sin4 x dx
Применим формулу понижения степени sin и cos :																				sin2 x 1 cos 2x и										cos2 2x	1 cos 4x	, тогда
																		2								2					2
		sin4 x sin2 x								2	1			1		cos 2x		2		1			1	cos 2x			1	cos2		2x
		sin4 x sin2 x												2		cos 2x				4			2	cos 2x			4	cos2		2x
											2			2						4			2				4
				1		1	cos 2x			1	1		1						1		1				1			1
															cos		4x					cos 2x							cos 4x
				4		2				4	2		2		cos		4x		4		2	cos 2x			8			8	cos 4x
				4		2				4	2		2						4		2				8			8
				3		1 cos 2x				1 cos 4x
				8		2				8

следовательно:

sin4 x dx 83 dx 41 cos 2x d 2x 321 cos 4x d 4x 83 x 41 sin 2x 321 sin 4x C

sin5 x dx

sin5				cos x t									1		t 2				2	dt 1				2t 2 t 4 dt t					2	t 3			1	t 5
		x dx																																	C
		x dx																											3				5		C
				sin x dx				dt																					3				5
cos x				2 cos3 x			1 cos5 x C
				3			5

sin6 x dx
Используем формулы понижения степени sin																		и cos :				sin2 x 1 cos 2x						, cos2 2x				1 cos 4x				, тогда
																								2										2
sin6 x sin2 x					3	1				1		cos 2x	3					1		3	cos 2x		3	cos2 2x			1	cos3 2x

							2			2								8		8			8				8
							2			2								8		8			8				8
	1	3	cos 2x		3	1			1						1		cos3					5	3				3			1	cos3 2x
											cos 4x									2x				cos 2x				cos 4x
	8	8			8				2		cos 4x				8					2x		16	8	cos 2x		16		cos 4x		8
	8	8			8	2			2						8							16	8			16				8
следовательно:									5					3										3						1
			I sin6 x dx						5			dx		3		cos 2x d						2x		3	cos 4x d 4x					1	cos3 2x dx
			I sin6 x dx					16				dx	16			cos 2x d						2x		64	cos 4x d 4x					8	cos3 2x dx
								16					16											64						8

165 x 163 sin 2x 643 sin 4x 161 cos3 2x d 2x

вто же время

cos3 x dx cos2 x d sin x 1 sin2 x d sin x

d sin x sin2 x d sin x sin x 31 sin3 x

ив итоге, с учётом sin3 x 3sin4 x sin43x , получаем:

I			5		x		3		sin 2x		3		sin 4x		1		cos3	2x d 2x
		16
						16				64				16
	5			x		3				3				1					1		3
								sin 2x				sin 4x				sin 2x				sin		2x	C
	16					16				64				16					3

165 x 163 sin 2x 643 sin 4x 161 sin 2x 481 sin3 2x C

165 x 41 sin 2x 643 sin 4x 481 sin3 2x C

5		1			3					1		3	sin 2x	1
	x		sin 2x				sin 4x							4	sin 6x	C
16		4		64					48			4

5	x	15 sin 2x				3		sin 4x			1	sin 6x C
16					64					192
		64

sindxx

t tg

2dt

C ln

sin x

1 t

sin x

1 t

- интеграл вычислен с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

cos x t

1 ln

sin x

sin2 x

1 cos2 x

t 2

sin x dx dt

1 cos x

1 cos x 1

cos x

1 cos x 2

1 cos x

cos x

1 cos2 x

1 cos x 2

C ln

1 cos x

sin2 x

sin x

- интеграл вычислен с помощью подстановки.

Заметим, что

tg	x	1 cos x	sin x	x 0 ,	x 2 k ,	k Z
	2	sin x	1 cos x

tt C

2sin

2 x

1 cos x

1 cos x 1 cos x

1 cos x 2

2 cos

2 x

1 cos x

1 cos x 1 cos x

1 cos2 x

sin2 x

2sin

2 x

1 cos x

1 cos x 1 cos x

1 cos2 x

sin2 x

1 cos x

1 cos x 1 cos x

1 cos x 2

2 cos

sin

tg x t

arctg t

1 t 2 3

1 t 2

2 t 4

sin6

t 2

t 6

t 2

t 6

tg 2 x

t 2

sin2

tg 2 x

t 5 2

t 3 1 t 1

5 tg

3 tg

tg x

x sin x dx

			u x

x sin x dx			du dx					x cos x cos x dx sin x x cos x C
x sin x dx					udv uv vdu			x cos x cos x dx sin x x cos x C
			dv sin x dx
			v cos x

x 2 sin x dx
				2					u x
	2		u x				2
x	2		du 2x dx			uv vdu x	2	cos x 2 x cos x dx	du dx
x		sin x dx				uv vdu x		cos x 2 x cos x dx
			dv sin x dx						dv cos x dx
			v cos x						v sin x

x 2 cos x 2 x sin x sin x dx x 2 cos x 2x sin x 2 cos x C 2 x 2 cos x 2x sin x C

cos2 x dx

Применим формулу понижения степени cos :				cos2 x		1 cos 2x		, тогда
		1 cos 2x		1		1	2		x	1
cos2							cos 2x d 2x
	x dx		dx		dx						sin 2x C
		2		2		4			2	4

cos3 x dx

cos3 x dx cos2 x d sin x 1 sin2 x d sin x

d sin x sin2 x d sin x sin x 31 sin3 x C

cos4 x dx

Применим формулу понижения степени cos :												cos2 x 1 cos 2x								, тогда
													2						2
cos4 x cos2 x						2	1			1			2			1		1	cos 2x		1		cos2		2x
cos4 x cos2 x								2		2	cos 2x					4		2	cos 2x		4		cos2		2x
								2		2						4		2			4
	1	1	cos 2x		1		1		1					1		1				1		1
										cos 4x							cos 2x							cos	4x
	4	2			4		2		2	cos 4x				4		2	cos 2x			8		8		cos	4x
	4	2			4		2		2					4		2				8		8
	3	1 cos 2x			1 cos 4x
	8	2			8
следовательно:		3		1									1									3 x			1 sin 2x	1
cos4 x dx		3	dx	1	cos 2x d 2x								1		cos 4x d 4x											1	sin 4x C
cos4 x dx		8	dx	4	cos 2x d 2x								32		cos 4x d 4x											32	sin 4x C
		8		4									32									8			4	32

cos5 x dx

cos5 x dx sin x t 1 t 2 2 dt 1 2t 2 t 4 dt t 2 t 3 1 t 5 C

cos x dx dt 3 5

sin x 23 sin3 x 51 sin5 x C

cos6 x dx

Используем формулы понижения степени sin и cos : sin2 x																			1 cos 2x						,	cos2 2x 1 cos 4x									, тогда
																							2									2
cos 6 x cos 2 x				3	1			1				3		1	3	cos 2x				3		cos 2		2x				1	cos 3			2x
cos 6 x cos 2 x								2		cos 2x				8	8	cos 2x				8		cos 2		2x				8	cos 3			2x
					2			2						8	8					8								8
	1	3		3	1			1					1				5				3							3					1
			cos 2x						cos 4x					cos	3 2x								cos 2x							cos 4x				cos 3 2x
	8	8	cos 2x	8				2	cos 4x				8	cos	3 2x		16				8		cos 2x				16			cos 4x			8	cos 3 2x
	8	8		8	2			2					8				16				8						16						8
следовательно:							5				3								3												1
			I cos6	x dx			5		dx		3	cos 2x d 2x							3		cos 4x d 4x										1	cos3 2x dx
			I cos6	x dx		16			dx		16	cos 2x d 2x						64			cos 4x d 4x										8	cos3 2x dx
						16					16							64													8

165 x 163 sin 2x 643 sin 4x 161 cos3 2x d 2x

вто же время

cos3 x dx cos2 x d sin x 1 sin2 x d sin x

d sin x sin2 x d sin x sin x 31 sin3 x

ив итоге, с учётом sin3 x 3sin4 x sin43x , получаем:

I		5	x			3	sin 2x			3	sin 4x			1		cos3 2x d 2x
					16				64				16
	16
	5	x		3				3				1					1		3
						sin 2x				sin 4x					sin 2x			sin		2x	C
	16			16				64				16					3

165 x 163 sin 2x 643 sin 4x 161 sin 2x 481 sin3 2x C

165 x 41 sin 2x 643 sin 4x 481 sin3 2x C

5	x	1	sin 2x		3		sin 4x			1		3	sin 2x	1
															sin 6x	C
16		4		64					48			4		4

5	x	15 sin 2x				3		sin 4x			1	sin 6x C
16					64					192
		64

cosdxx

sin x t

1 t

cos x

cos2 x

1 sin2 x

1 t 2

cos x dx

1 t

1	ln	1 sin x

2		1 sin x

или



	1			1 cos		x		1
C	1	ln			2		C	1	ln
C	2	ln	1				C	2	ln
	2							2
					cos	x
					2

2sin	2			x
2sin						x
			4	2	C ln	x		C
			4	2		tg
		2				tg	4
2 cos		2		x		2	4

				2
			4	2

1 sin x

1 sin x 1 sin x

sin x

1 sin x

1 sin x 1 sin x

1 sin2 x

1 sin x

C ln

1 sin x

C ln

tg x sec x

cos2 x

cos x

cos

tg x t

x arctg t

1 t 2

dt t C tg x C

cos2 x

t 2

1 t 2

cos

1 t

cos

tg x t

x arctg t

2 2

1 t

cos4 x

t 2

1 t 2

cos

1 t

C tg x

tg3 x

x cos x dx

u x

udv uv vdu x sin x sin x dx x sin x cos x C

x cos x dx

dv cos x dx

v sin x

- использован метод интегрирования по частям.

chdxx

sh x t

arctg t C arctg sh x C

ch x

ch2 x

1 sh2 x

1 t2

ch x dx

Вычисление интегралов в Mathcad 14:

Для получения сопоставимой формы результата один из интегралов вычислен в Maxima 5:

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
27.04.2017246.98 Кб18analis15.pdf
#
27.04.201746.96 Кб24goryachie_formuly.pdf
#
27.04.2017142.81 Кб11Sin_i_cos.pdf
#
27.04.2017110.8 Кб8Tan_i_cot.pdf
#
27.04.201713.22 Mб72Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике (9-е издание, 2009).pdf